Франсуа виет краткая биография. Франсуа виет и элементарная алгебра

Франсуа Виет - математик

Франсуа Виет (1540-1603), - французский математик, положивший начало алгебре как науке о преобразовании выражений, о решении уравнений в общем виде, создатель буквенного исчисления.
Виет Франсуа родился в городе Фонтене ле-Конт провинции Пуату. Получив юридическое образование, он с девятнадцати лет успешно занимался адвокатской практикой в родном городе. Как адвокат Виет пользовался у населения авторитетом и уважением. Он был широко образованным человеком. Знал астрономию и математику и все свободное время отдавал этим наукам.
Преподавая частным образом астрономию дочери одной знатной клиентки, Виет пришел к мысли составить труд, посвященный усовершенствованию птолемеевской системы. Затем он приступил к разработке тригонометрии и приложению ее к решению алгебраических уравнений. В 1571 году Виет переехал в Париж и там познакомился с математиком Пьером Рамусом. Благодаря своему таланту и отчасти благодаря браку своей бывшей ученицы с принцем де Роганом, Виет сделал блестящую карьеру и стал советником Генриха III, а после его смерти-Генриха IV.

Но главной страстью Виета была математика. Он глубоко изучил сочинения классиков Архимеда и Диофанта, ближайших предшественников Кардано, Бомбелли, Стевина и других. Виета они не только восхищали, в них он видел большой изъян, заключающийся в трудности понимания из-за словесной символики.
Почти все действия и знаки записывались словами, не было намека на те удобные, почти автоматические правила, которыми мы сейчас пользуемся. Нельзя было записывать и, следовательно, начать в общем виде алгебраические сравнения или какие-нибудь другие алгебраические выражения. Каждый вид уравнения с числовыми коэффициентами решался по особому правилу. Так, например, у Кардано рассматривались 66 видов алгебраических уравнений. Поэтому необходимо было доказать, что существуют такие общие действия над всеми числами, которые от этих самих чисел не зависят. Виет и его последователи установи, что не имеет значения, будет ли рассматриваемое число количеством предметов или длиной отрезка. Главное, что с этими числами можно производить алгебраические действия и в результате снова получать числа того же рода. Значит, их можно обозначать какими-либо отвлеченными знаками. Виет это и сделал. Он не только ввел свое буквенное исчисление, но сделал принципиально новое открытий, поставив перед собой цель изучать не числа, а действия над ними. Правда, у самого Виета алгебраические символы еще были мало похожи на наши. Например, кубическое уравнение Виет записывал так:
А cubus + В рlanum in A3 aequatur D solito
Здесь еще, как видим, много слов. Но ясно, что они уже играют роль наших символов. Такой способ записи позволил Виету сделать важные открытия при изучении общих свойств алгебраических уравнений. Не случайно за это Виета называют "отцом" алгебры, основоположником буквенной символики. Особенно гордился Виет всем известной теперь теоремой о выражении коэффициентов уравнения через его корни, полученной им самостоятельно, хотя, как теперь стало известно, зависимость между коэффициентами и корнями уравнения (даже более общего вида, чем квадратного) была известна Кардано, а в таком виде, в каком мы пользуемся для квадратного уравнения,-древним вавилонянам. Из других открытий Виета следует отметить выражение для синусов и косинусов кратных дуг через sin x и cos x. Эти знания тригонометрии Виет с успехом применял как в алгебре при решении алгебраических уравнений, так и в геометрии, например, при решении с помощью циркуля и линейки знаменитой задачи Аполлония Пергского о построении круга, касательного к трем данным кругам. Гордясь найденным решением, Виет называл себя Алоллонием Гальским (Галлией в старину называли Францию).

Нельзя сказать, что во Франции о Виете ничего не знали. Громкую славу он получил при Генрихе III, во время франко-испанской войны. Испанские инквизиторы изобрели очень сложную тайнопись (шифр), которая все время изменялась и дополнялась. Благодаря такому шифру воинствующая и сильная в то время Испания могла свободно переписываться с противниками французского короля даже внутри Франции, и эта переписка всё время оставалась неразгаданной. После бесплодных попыток найти ключ к шифру король обратился к Виету. Рассказывают, что Виет две недели подряд дни и ночи просидев за работой, все же нашел ключ к испанскому шифру. После этого неожиданно для испанцев Франция стала выигрывать одно сражение за другим. Испанцы долго недоумевали. Наконец им стало известно, что шифр для французов уже не секрет и что виновник его расшифровки - Виет. Будучи уверенными в невозможности разгадать их способ тайнописи людьми, они обвинили Францию перед папой римским и инквизицией в кознях дьявола, а Виет был обвинен в союзе с дьяволом и приговорен к сожжению на костре. К счастью для науки, он не был выдан инквизиции. В последние годы жизни Виет занимал важные посты при дворе короля Франции. Умер он в Париже в самом начале семнадцатого столетия. Подозревают, что он был убит.
Математические достижения:
Работы по математике писал чрезвычайно трудным языком, поэтому они не получили распространения. Труды Виета были собраны после его смерти профессором математики в Лейдене Ф. Шоотеном. В трудах Виета алгебра становится общей наукой об алгебраических уравнениях, основанной на символических обозначениях. Виет первый обозначил буквами не только неизвестные, но и данные величины, т. е. коэффициенты соответствующих уравнений. Благодаря этому стало впервые возможным выражение свойств уравнений и их корней общими формулами, и сами алгебраические выражения превратились в объекты, над которыми можно производить действия. Виет разработал единообразный прием решения уравнений 2-й, 3-й и 4-й степени и новый метод решения кубического уравнения, дал тригонометрическое решение уравнения 3-й степени в неприводимом случае, предложил различные рациональные преобразования корней, установил зависимость между корнями и коэффициентами уравнений (формулы Виета). Для приближенного решения уравнений с числовыми коэффициентами Виет предложил метод, сходный с методом, позднее разработанным И. Ньютоном. Достижения Виета в тригонометрии - полное решение задачи об определении всех элементов плоского или сферического треугольников по трем данным элементам, важные разложения sin пх и cos пх по степеням cos х и sinx. Знание формулы синусов и косинусов кратных дуг дало возможность Виету решить уравнение 45-й степени, предложенное математиком А. Рооменом; Виет показал, что решение этого уравнения сводится к разделению угла на 45 равных частей и что существуют 23 положительных корня этого уравнения.

Франсуа Виет

Айсанов Али

Я изучил статьи, интернет-ресурсы и подготовил сообщение на урок о жизни и творчестве известного французского математика Француа Виета. У этого человека удивительная и богатая биография. Прочтите!!

Скачать:

Предварительный просмотр:

Муниципальное казенное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа №14»

Творческая

работа на тему:

Франсуа Виет – великий математик

Выполнил: учащийся 8 «а» класса муниципального казенного общеобразовательного учреждения «Средняя общеобразовательная школа №14 » Айсанов Али.

Руководитель: учитель математики высшей квалификационной категории муниципального казенного общеобразовательного учреждения «Средняя общеобразовательная школа №14 » Перцева С.А.

с. Степное,

январь,2014г.

Франсуа Виет – великий математик.

Франсуа Виет (1540-1603) - великий французский математик. Франсуа Виет родился в 1540 году на юге Франции в небольшом городке Фантене-ле-Конт, что находится в 60 км от Ла Рошели, бывшей в то время оплотом французских протестантов-гугенотов. Большую часть жизни он прожил рядом с виднейшими руководителями этого движения, хотя сам оставался католиком. По-видимому, религиозные разногласия ученого не волновали.

Отец Виета был прокурором. По традиции, сын выбрал профессию отца и стал юристом, окончив университет в Пуату. В 1560 году двадцатилетний адвокат начал свою карьеру в родном городе, но через три года перешел на службу в знатную гугенотскую семью де Партене. Он стал секретарем хозяина дома и учителем его дочери двенадцатилетней Екатерины. Именно преподавание пробудило в молодом юристе интерес к математике.

Когда ученица выросла и вышла замуж, Франсуа Виет не расстался с ее семьей и переехал с нею в Париж, где ему было легче узнать о достижениях ведущих математиков Европы. С некоторыми учеными Виет познакомился лично. Так, он общался с видным профессором Сорбонны Рамусом, с крупнейшим математиком Италии Рафаэлем Бомбелли вел дружескую переписку.

В 1671 году Франсуа Виет перешел на государственную службу, став советником парламента, а затем советником короля Франции Генриха III.

В ночь на 24 августа 1672 года в Париже произошла массовая резня гугенотов католиками, так называемая Варфоломеевская ночь. В ту ночь вместе со многими гугенотами погибли муж Екатерины де Партене и математик Рамус. Во Франции началась гражданская война. Через несколько лет Екатерина де Партене снова вышла замуж. На сей раз ее избранником стал один из видных руководителей гугенотов - принц де Роган. По его ходатайству в 1580 году Генрих III назначил Виета на важный государственный пост рекетмейстера, который давал право контролировать от имени короля выполнение распоряжений в стране и приостанавливать приказы крупных феодалов.

Находясь на государственной службе, Ф. Виет оставался ученым. Он прославился тем, что сумел расшифровать код перехваченной переписки короля Испании с его представителями в Нидерландах, благодаря чему король Франции был полностью в курсе действий своих противников. Код был сложным, содержал до 600 различных знаков, которые периодически менялись. Испанцы не могли поверить, что его расшифровали, и обвинили французского короля в связях с нечистой силой. К этому времени относятся свидетельства современников Виета о его огромной трудоспособности. Будучи чем-то увлечен, ученый мог работать по трое суток без сна.

В 1589 году, после убийства Генриха Гиза по приказу короля, Виет возвратился в Париж. Но в том же году Генрих III был убит монахом - приверженцем Гизов. Формально французская корона перешла к Генриху Наваррскому - главе гугенотов. Но лишь после того, как в 1593 году этот правитель принял католичество, в Париже его признали королем Генрихом IV. Так был положен конец кровавой и истребительной религиозной войне, долгое время оказывавшей влияние на жизнь каждого француза, даже вовсе не интересовавшегося ни политикой, ни религией.

Подробности жизни Франсуа Виета в тот период неизвестны, что само по себе говорит о его желании оставаться в стороне от кровавых дворцовых событий. Известно только, что он перешел на службу к Генриху IV, находился при дворе, был ответственным правительственным чиновником и пользовался огромным уважением как математик.

По преданию, посол Нидерландов сказал на приеме у короля Франции Генриха IV, что их математик ван Роомен задал математикам мира задачу. Но во Франции, видимо, нет математиков, так как среди тех, кому особо адресовался вызов, нет ни одного француза. Генрих IV ответил, что во Франции есть математик, и пригласил Виета. Знание синусов и косинусов, кратных дуг дало возможность Виету решить уравнение 45-й степени, предложенное нидерландским ученым.

В 1584 году по настоянию Гизов Франсуа Виета отстранили от должности и выслали из Парижа. Именно на этот период приходится пик его творчества. Обретя неожиданный покой и отдых, ученый поставил своей целью создание всеобъемлющей математики, позволяющей решать любые задачи. У него сложилось убеждение в том, «что должна существовать общая, неизвестная еще наука, обнимающая и остроумные измышления новейших алгебраистов, и глубокие геометрические изыскания древних».

Он разработал почти всю элементарную алгебру, положивший начало алгебре как науке о преобразовании выражений, о решении уравнений в общем виде, создатель буквенного исчисления. Виет ввел буквенные обозначения для коэффициентов в уравнениях.

Виет первым стал обозначать буквами не только неизвестные, но и данные величины. Тем самым ему удалось внедрить в науку великую мысль о возможности выполнять алгебраические преобразования над символами, т. е. ввести понятие математической формулы. Этим он внес решающий вклад в создание буквенной алгебры, чем завершил развитие математики эпохи Возрождения и подготовил почву для появления результатов Пьера Ферма, Рене Декарта, Исаака Ньютона. Виет изложил программу своих исследований и перечислил трактаты, объединенные общим замыслом и написанные на математическом языке новой буквенной алгебры, в изданном в 1591 году знаменитом «Введение в аналитическое искусство». Перечисление шло в том порядке, в каком эти труды должны были издаваться, чтобы составить единое целое - новое направление в науке. К сожалению, единого целого не получилось, трактаты публиковались в совершенно случайном порядке, и многие увидели свет только после смерти Виета. Один из трактатов вообще не найден. Однако главный замысел ученого замечательно удался: началось преобразование алгебры в мощное математическое исчисление. Само название «алгебра» Франсуа Виет в своих трудах заменил словами «аналитическое искусство». Он писал в письме к де Партене: «Все математики знали, что под алгеброй и алмукабалой... скрыты несравненные сокровища, но не умели их найти. Задачи, которые они считали наиболее трудными, совершенно легко решаются десятками с помощью нашего искусства...».Основу своего подхода Франсуа Виет называл видовой логистикой. Следуя примеру древних, он четко разграничивал числа, величины и отношения, собрав их в некую систему «видов». В эту систему входили, например, переменные, их корни, квадраты, кубы, квадрато-квадраты и т д., а также множество скаляров, которым соответствовали реальные размеры - длина, площадь или объем. Для этих видов Виет дал специальную символику, обозначив их прописными буквами латинского алфавита. Для неизвестных величин применялись гласные буквы, для переменных - согласные.

Франсуа Виет показал, что, оперируя с символами, можно получить результат, который применим к любым соответствующим величинам, т. е решить задачу в общем виде. Это положило начало коренному перелому в развитии алгебры: стало возможным буквенное исчисление.

Демонстрируя силу своего метода, ученый привел в своих работах запас формул, которые могли быть использованы для решения конкретных задач. Из знаков действий он использовал «+» и «-», знак радикала и горизонтальную черту для деления. Произведение обозначал словом «т». Виет первым стал применять скобки, которые, правда, у него имели вид не скобок, а черты над многочленом. Но многие знаки, введенные до него, он не использовал. Так, квадрат, куб и т. д. обозначал словами или первыми буквами слов.

Известны «формулы Виета», дающие зависимость между корнями и коэффициентами алгебраического уравнения (Виета теорема - установленная Ф. Виетом теорема: сумма корней приведенного квадратного уравнения равна коэффициенту при x, взятому с противоположным знаком, а произведение - свободному члену).

Знаменитая теорема, устанавливающая связь коэффициентов многочлена с его корнями, была обнародована в 1591 году. Теперь она носит имя Виета, а сам автор формулировал ее так: «Если B+D, умноженное на А, минус А в квадрате равно BD, то А равно В и равно D».Теорема Франсуа Виета стала ныне самым знаменитым утверждением школьной алгебры. Теорема Виета достойна восхищения, тем более что ее можно обобщить на многочлены любой степени.

Больших успехов достиг ученый и в области геометрии, применительно к ней он сумел разработать интересные методы. В трактате «Дополнения к геометрии» он стремился создать по примеру древних некую геометрическую алгебру, используя геометрические методы для решения уравнений третьей и четвертой степеней. Любое уравнение третьей и четвертой степени, утверждал Виет, можно решить геометрическим методом трисекции угла или построением двух средних пропорциональных.

Математиков в течение столетий интересовал вопрос решения треугольников, так как он диктовался нуждами астрономии, архитектуры, Родезии. У Виета применявшиеся ранее методы решения треугольников приобрели более законченный вид. Так, Франсуа Виет первым явно сформулировал в словесной форме теорему косинусов, хотя положения, эквивалентные ей, эпизодически применялись с первого века до нашей эры. Известный ранее своей трудностью случай решения треугольника по двум данным сторонам и одному из противолежащих им углов получил у Виета исчерпывающий разбор. Было ясно сказано, что в этом случае решение не всегда возможно. Если же решение есть, то может быть одно или два.

Глубокое знание алгебры давало Виету большие преимущества. Причем интерес его к алгебре первоначально был вызван приложениями к тригонометрии и астрономии. «И тригонометрия, - как замечает Г. Г. Цейтен, - щедро отблагодарила алгебру за оказанную ею помощь». Не только каждое новое применение алгебры давало импульс новым исследованиям по тригонометрии, но и полученные тригонометрические результаты являлись источником важных успехов алгебры. Франсуа Виету, в частности, принадлежит вывод выражений для синусов (или хорд) и косинусов кратных дуг.

В последние годы жизни Франсуа Виет ушел с государственной службы, но продолжал интересоваться наукой. Известно, например, что он вступил в полемику по поводу введения нового, григорианского календаря в Европе. И даже хотел создать свой календарь.

В мемуарах некоторых придворных Франции есть указание, что Виет был женат, что у него была дочь, единственная наследница имения, по которому Франсуа Виет звался сеньор де ла Биготье. В придворных новостях маркиз Летуаль писал: «... 14 февраля 1603 г. господин Виет, рекетмейстер, человек большого ума и рассуждения и один из самых ученых математиков века умер... в Париже, имея, по общему мнению, 20 тыс. экю в изголовье. Ему было более шестидесяти лет».

Непосредственно применение трудов Франсуа Виета очень затруднялось тяжелым и громоздким изложением. Из-за этого они полностью не изданы до сих пор. Более или менее полное собрание трудов Виета было издано в 1646 году в Лейдене нидерландским математиком ван Скоотеном под названием «Математические сочинения Виета». Г. Г. Цейтен отмечал, что чтение работ Виета затрудняется несколько изысканной формой, в которой повсюду сквозит его большая эрудиция, и большим количеством изобретенных им и совершенно не привившихся греческих терминов. Потому « влияние его, столь значительное по отношению ко всей последующей математике, распространялось сравнительно медленно».

Литература:

Самин Д. К. 100 великих ученых. - М.: Вече, 2000

ФРАНСУА ВИЕТ

Французский математик, положивший начало алгебре как науке о преобразовании выражений, о решении уравнений в общем виде, создатель буквенного исчисления. Виет первым стал обозначать буквами не только неизвестные, но и данные величины. Тем самым ему удалось внедрить в науку великую мысль о возможности выполнять алгебраические преобразования над символами, т. е. ввести понятие математической формулы. Этим он внес решающий вклад в создание буквенной алгебры, чем завершил развитие математики эпохи Возрождения и подготовил почву для появления результатов Ферма, Декарта, Ньютона.

Франсуа Виет родился в 1540 г. на юге Франции в небольшом городке Фантене-ле-Конт, что находится в 60 км от Ла-Рошели, бывшей в то время оплотом французских протестантов-гугенотов. Большую часть жизни он прожил рядом с виднейшими руководителями этого движения, хотя сам оставался католиком. По-видимому, религиозные разногласия ученого не волновали.

Отец Виета был прокурором. По традиции сын выбрал профессию отца и стал юристом, окончив университет в Пуату. В 1560 г. двадцатилетний адвокат начал свою карьеру в родном городе, но через три года перешел на службу в знатную гугенотскую семью де Партене. Он стал секретарем хозяина дома и учителем его дочери двенадцатилетней Екатерины. Именно преподавание пробудило в молодом юристе интерес к математике.

Когда ученица выросла и вышла замуж, Виет не расстался с ее семьей, и переехал с нею в Париж, где ему было легче узнать о достижениях ведущих математиков Европы. С некоторыми учеными Виет познакомился лично. Так, он общался с видным профессором Сорбонны Рамусом, с крупнейшим математиком Италии Рафаэлем Бомбелли вел дружескую переписку.

В 1671 г. Виет перешел на государственную службу, став советником парламента, а затем советником короля Франции Генриха III.

В ночь на 24 августа 1672 г. в Париже произошла массовая резня гугенотов католиками, так называемая Варфоломеевская ночь. В ту ночь вместе со многими гугенотами погибли муж Екатерины де Партене и математик Рамус. Во Франции началась гражданская война. Через несколько лет Екатерина де Партене снова вышла замуж. На сей раз, ее избранником стал один из видных руководителей гугенотов - принц де Роган. По его ходатайству в 1580 г. Генрих III назначил Виета на важный государственный пост рекетмейстера, который давал право контролировать от имени короля выполнение распоряжений в стране и приостанавливать приказы крупных феодалов.

Находясь на государственной службе, Виет оставался ученым. Он прославился тем, что сумел расшифровать код перехваченной переписки короля Испании с его представителями в Нидерландах, благодаря чему король Франции был полностью в курсе действий своих противников. Код был сложным, содержал до 600 различных знаков, которые периодически менялись. Испанцы не могли поверить, что его расшифровали, и обвинили французского короля в связях с нечистой силой. К этому времени относятся свидетельства современников Виета о его огромной трудоспособности. Будучи чем-то увлечен, ученый мог работать по трое суток без сна.

В 1584 г. по настоянию Гизов Виета отстранили от должности и выслали из Парижа. Именно на этот период приходится пик его творчества. Обретя неожиданный покой и отдых, ученый поставил своей целью создание всеобъемлющей математики, позволяющей решать любые задачи. У него сложилось убеждение в том, «что должна существовать общая, неизвестная еще наука, обнимающая и остроумные измышления новейших алгебраистов, и глубокие геометрические изыскания древних».

Виет изложил программу своих исследований и перечислил трактаты, объединенные общим замыслом и написанные на математическом языке новой буквенной алгебры, в изданном в 1591 г. знаменитом «Введение в аналитическое искусство». Перечисление шло в том порядке, в каком эти труды должны были издаваться, чтобы составить единое целое - новое направление в науке. К сожалению, единого целого не получилось. Трактаты публиковались в совершенно случайном порядке, и многие увидели свет только после смерти Виета. Один из трактатов вообще не найден. Однако главный замысел ученого замечательно удался: началось преобразование алгебры в мощное математическое исчисление. Само название «алгебра» Виет в своих трудах заменил словами «аналитическое искусство». Он писал в письме к де Партене: «Все математики знали, что под алгеброй и алмукабалой... скрыты несравненные сокровища, но не умели их найти. Задачи, которые они считали наиболее трудными, совершенно легко решаются десятками с помощью нашего искусства...»

Основу своего подхода Виет называл видовой логистикой. Следуя примеру древних, он четко разграничивал числа, величины и отношения, собрав их в некую систему «видов». В эту систему входили, например, переменные, их корни, квадраты, кубы, квадрато-квадраты и т. д., а также множество скаляров, которым соответствовали реальные размеры - длина, площадь или объем. Для этих видов Виет дал специальную символику, обозначив их прописными буквами латинского алфавита. Для неизвестных величин применялись гласные буквы, для переменных - согласные.

Виет показал, что, оперируя с символами, можно получить результат, который применим к любым соответствующим величинам, т. е. решить задачу в общем виде. Это положило начало коренному перелому в развитии алгебры: стало возможным буквенное исчисление.

Демонстрируя силу своего метода, ученый привел в своих работах запас формул, которые могли быть использованы для решения конкретных задач. Из знаков действий он использовал «+» и «-», знак радикала и горизонтальную черту для деления. Произведение обозначал словом «in». Виет первым стал применять скобки, которые, правда, у него имели вид не скобок, а черты над многочленом. Но многие знаки, введенные до него, он не использовал. Так квадрат, куб и т. д. обозначал словами или первыми буквами слов.

Знаменитая теорема, устанавливающая связь коэффициентов многочлена с его корнями, была обнародована в 1591 г. Теперь она носит имя Виета, а сам автор формулировал ее так: «Если В+D, умноженное на А, минус А в квадрате равно ВD, то А равно В и равно D». Теорема Виета стала ныне самым знаменитым утверждением школьной алгебры. Теорема Виета достойна восхищения, тем более что ее можно обобщить на многочлены любой степени.

Больших успехов достиг ученый и в области геометрии. Применительно к ней он сумел разработать интересные методы. В трактате «Дополнения к геометрии» он стремился создать по примеру древних некую геометрическую алгебру, используя геометрические методы для решения уравнений третьей и четвертой степеней. Любое уравнение третьей и четвертой степени, утверждал Виет, можно решить геометрическим методом трисекции угла или построением двух средних пропорциональных.

Математиков в течение столетий интересовал вопрос решения треугольников, так как он диктовался нуждами астрономии, архитектуры, геодезии. У Виета применявшиеся ранее методы решения треугольников приобрели более законченный вид. Так он первым явно сформулировал в словесной форме теорему косинусов, хотя положения, эквивалентные ей, эпизодически применялись с первого века до нашей эры. Известный ранее своей трудностью случай решения треугольника по двум данным сторонам и одному из противолежащих им углов получил у Виста исчерпывающий разбор. Было ясно сказано, что в этом случае решение не всегда возможно. Если же решение есть, то может быть одно или два.

Глубокое знание алгебры давало Виету большие преимущества. Причем интерес его к алгебре первоначально был вызван приложениями к тригонометрии и астрономии. «И тригонометрия, - как замечает Г. Г. Цейтен, - щедро отблагодарила алгебру за оказанную ею помощь». Не только каждое новое применение алгебры давало импульс новым исследованиям по тригонометрии, но и полученные тригонометрические результаты являлись источником важных успехов алгебры. Виету, в частности, принадлежит вывод выражений для синусов (или хорд) и косинусов кратных дуг.

В 1589 г., после убийства Генриха Гиза по приказу короля, Виет возвратился в Париж. Но в том же году Генрих III был убит монахом - приверженцем Гизов. Формально французская корона перешла к Генриху Наваррскому - главе гугенотов. Но лишь после того, как в 1593 г. этот правитель принял католичество, в Париже его признали королем Генрихом IV. Так был положен конец кровавой и истребительной религиозной войне, долгое время оказывавшей влияние на жизнь каждого француза, даже вовсе не интересовавшегося ни политикой, ни религией.

Подробности жизни Виета в тот период неизвестны, что само по себе говорит о его желании оставаться в стороне от кровавых дворцовых событий. Известно только, что он перешел на службу к Генриху IV, находился при дворе, был ответственным правительственным чиновником и пользовался огромным уважением как математик.

По преданию, посол Нидерландов сказал на приеме у короля Франции Генриха IV, что их математик ван Роомен задал математикам мира задачу. Но во Франции, видимо, нет математиков, так как среди тех, кому особо адресовался вызов, нет ни одного француза. Генрих IV ответил, что во Франции есть математик, и пригласил Виета. Знание синусов и косинусов кратных дуг дало возможность Виету решить уравнение 45-й степени, предложенное нидерландским ученым.

В последние годы жизни Виет ушел с государственной службы, но продолжал интересоваться наукой. Известно, например, что он вступил в полемику по поводу введения нового, григорианского календаря в Европе. И даже хотел создать свой календарь.

В мемуарах некоторых придворных Франции есть указание, что Виет был женат, что у него была дочь, единственная наследница имения, по которому Виет звался сеньор де ла Биготье. В придворных новостях маркиз Летуаль писал: «...14 февраля 1603 г. господин Виет, рекетмейстер, человек большого ума и рассуждения и один из самых ученых математиков века умер... в Париже, имея, по общему мнению, 20 тыс. экю в изголовье. Ему было более 60 лет».

Непосредственно применение трудов Виета очень затруднялось тяжелым и громоздким изложением. Из-за этого они полностью не изданы до сих пор. Более или менее полное собрание трудов Вирта было издано в 1646 г. в Лейдене нидерландским математиком ван Скоотеном под названием «Математические сочинения Виета». Г.Г. Цейтен отмечал, что чтение работ Виета затрудняется несколько изысканной формой, в которой повсюду сквозит его большая эрудиция, и большим количеством изобретенных им и совершенно не привившихся греческих терминов. Потому влияние его, столь значительное по отношению ко всей последующей математике, распространялось сравнительно медленно».

Родился в 1540 году в Фонтене-ле-Конт французской провинции Пуату - Шарант. Отец Франсуа - прокурор. Учился сначала в местном францисканском монастыре, а затем - в университете Пуатье, где получил степень бакалавра (1560). С 19 лет занимался адвокатской практикой в родном городе. В 1567 году перешёл на государственную службу.

Около 1570 года подготовил «Математический Канон» - капитальный труд по тригонометрии, который издал в Париже в 1579 году. В 1571 году переехал в Париж, увлечение его математикой и известность Виета среди учёных Европы продолжали расти.

Благодаря связям матери и браку своей ученицы с принцем де Роганом, Виет сделал блестящую карьеру и стал советником сначала короля Генриха III, а после его убийства - Генриха IV. По поручению Генриха IV Виет сумел расшифровать переписку испанских агентов во Франции, за что был даже обвинён испанским королём Филиппом II в использовании чёрной магии.

Когда в результате придворных интриг Виет был на несколько лет устранён от дел (1584-1588), он полностью посвятил себя математике. Изучил труды классиков (Кардано, Бомбелли, Стевина и др.). Итогом его размышлений стали несколько трудов, в которых Виет предложил новый язык «общей арифметики» - символический язык алгебры.

При жизни Виета была издана только часть его трудов. Главное его сочинение: «Введение в аналитическое искусство» (1591), которое он рассматривал как начало всеобъемлющего трактата, но продолжить не успел. Есть гипотеза, что учёный умер насильственной смертью. Сборник трудов Виета был издан посмертно (1646, Лейден) его голландским другом Ф. ван Схотеном.

Научная деятельность

Виет чётко представлял себе конечную цель - разработку нового языка, своего рода обобщённой арифметики, которая даст возможность проводить математические исследования с недостижимыми ранее глубиной и общностью:

Виет всюду делит изложение на две части: общие законы и их конкретно-числовые реализации. То есть он сначала решает задачи в общем виде, и только потом приводит числовые примеры. В общей части он обозначает буквами не только неизвестные, что уже встречалось ранее, но и все прочие параметры, для которых он придумал термин «коэффициенты» (буквально: содействующие). Виет использовал для этого только заглавные буквы - гласные для неизвестных, согласные для коэффициентов.

Виет свободно применяет разнообразные алгебраические преобразования - например, замену переменных или смену знака выражения при переносе его в другую часть уравнения. Это стоит отметить, принимая во внимание тогдашнее подозрительное отношение к отрицательным числам. Из знаков операций Виет использовал три: плюс, минус и черту дроби для деления; умножение обозначалось предлогом in. Вместо скобок он, как и другие математики XVI века, надчёркивал сверху выделяемое выражение. Показатели степени у Виета ещё записываются словесно.

Новая система позволила просто, ясно и компактно описать общие законы арифметики и алгоритмы. Символика Виета была сразу же оценена учёными разных стран, которые приступили к её совершенствованию. Среди непосредственных продолжателей дела создания символической алгебры можно назвать Хэрриота, Жирара и Отреда, практически современный вид алгебраический язык получил в XVII веке у Декарта.

Другие научные заслуги Виета:

Знаменитые «формулы Виета» для коэффициентов многочлена как функций его корней.
Новый тригонометрический метод решения неприводимого кубического уравнения. Виет применил его для решения древней задачи трисекции угла, которую свёл к кубическому уравнению.
Первый пример бесконечного произведения:

Полное аналитическое изложение теории уравнений первых четырёх степеней.
Идея применения трансцендентных функций к решению алгебраических уравнений.
Оригинальный метод приближённого решения алгебраических уравнений.
Частичное решение задачи Аполлония о построении круга, касающегося трёх данных, в сочинении Apollonius Gallus (1600). Решение Виета не проходит для случая внешних касаний.

Знание формулы синусов и косинусов кратных дуг дало возможность Виету решить уравнение 45-й степени, предложенное математиком А. Рооменом

Франсуа Виет родился в 1540 г. во Франции в Фонтене-ле-Конт французской провинции Пуату -- Шарант. Отец Виета был прокурором. Сын выбрал профессию отца и стал юристом. Учился сначала в местном францисканском монастыре, а затем -- в университете Пуатье, где получил степень бакалавра (1560). С 19 лет занимался адвокатской практикой в родном городе, но через три года перешел на службу в знатную гугенотскую семью де Партене. Он стал секретарем хозяина дома и учителем его дочери двенадцатилетней Екатерины. Именно преподавание пробудило в молодом юристе интерес к математике. Когда ученица выросла и вышла замуж, Виет не расстался с ее семьей и переехал с нею в Париж, где ему было легче узнать о достижениях ведущих математиков Европы. Он общался с видным профессором Сорбонны Рамусом, с крупнейшим математиком Италии Рафаэлем Бомбелли вел дружескую переписку.

Около 1570 года подготовил «Математический Канон» -- труд по тригонометрии, -- который издал в Париже в 1579 году.

В 1571 году переехал в Париж и вскоре перешёл на государственную службу, но увлечение его математикой продолжало расти.

Благодаря связям матери и браку своей ученицы с принцем де Роганом, Виет сделал блестящую карьеру и стал советником сначала короля Генриха III, который назначил Виета на важный государственный пост рекетмейстера, который давал право контролировать выполнение распоряжений в стране и приостанавливать приказы крупных феодалов, а после его убийства -- Генриха IV. Во время когда Виет занимал этот пост голландский математик Андриан ван-Роумен, известный, пожалуй, тем, что вычислил число р; с восемнадцатью верными знаками, повторив тем самым через 150 лет результат среднеазиатского математика ал-Каши, в конце 16 столетия решил бросить вызов всем математикам мира. Он разослал во все европейские страны уравнение 45-й степени: x45 - 45x43 + 945x41 - 12300x39 +... + 95634x5 - 3795x3 + 45x = a, Французским математикам он решил это уравнение не посылать, считая, что там нет способных справиться с задачей: Декарт в то время еще не родился, Пьера Рамуса в 1572 убили в Варфоломеевскую ночь, о других математиках не было слышно. Так французские математики не смогли принять вызов. Больше всего было ущемлено самолюбие Генриха IV. - И все же у меня есть математик! - воскликнул король. - Позовите Виета!

В приемную короля вошел пятидесятитрехлетний седоволосый советник короля Франсуа Виет. Он тут же, в присутствие короля, министров и гостей, нашел один корень предложенного уравнения. Король ликовал, все поздравляли придворного советника. На следующий день Виет нашел еще 22 корня уравнения, описываемые выражением: при n=1,2,...,22. Этим он и ограничился, так как остальные 22 корня - отрицательные, а Виет не признавал ни отрицательных, ни мнимых корней.

После такого успеха Виета составитель злополучного уравнения Роумен стал ревностным почитателем его. Нельзя сказать, что во Франции о Виете ничего не знали. Громкую славу он получил еще раньше, при Генрихе III во время франко-испанской войны. Испанские инквизиторы изобрели очень сложную тайнопись (шифр), которая все время изменялась и дополнялась. Благодаря этому шифру воинствующая и сильная в то время Испания могла свободно переписываться с противниками французского короля даже внутри Франции, и эта переписка оставалась неразгаданной. После бесплодных попыток найти ключ к шифру король обратился к Виету. Рассказывают, что Виет, две недели подряд дни и ночи просидев за работой, все же нашел ключ к испанскому шифру. После этого неожиданно для испанцев Франция стала выигрывать одно сражение за другим. Испанцы долго недоумевали. Наконец им стало известно, что шифр для французов уже не секрет и что виновник его расшифровки - Виет. Будучи уверенными, в невозможности разгадать способ тайнописи людьми, они обвинили Францию перед папой римским и инквизицией в кознях дьявола, а Виет был обвинен в союзе с дьяволом и приговорен к сожжению на костре. К счастью для науки, он не был выдан инквизиции.

Но все свое свободное время, весь свой досуг он отдавал занятиям математикой, а также астрономией. Особенно усиленно он начал работать в области математики с 1584 г. после отстранения от должности при королевском дворе. Виет детально изучил труды, как древних, так и современных ему математиков.

Франсуа Виет по существу создал новую алгебру. Он ввел в нее буквенную символику. Основные его идеи изложены в труде «Введение в аналитическое искусство». Он писал: «Все математики знали, что под их алгеброй и альмукабалой были скрыты несравненные сокровища, но не умели их найти: задачи, которые они считали наиболее трудными, совершенно легко решаются с помощью нашего искусства». Благодаря этому стало впервые возможным выражение свойств уравнений и их корней общими формулами и сами алгебраические выражения превратились в объекты, над которыми можно было производить те или иные действия. Ему принадлежит установление единообразного приема решения уравнений 2-й, 3-й 4-й степени, новый метод решения кубического уравнения, тригонометрическое решение в т.н. неприводимом случае, различные рациональные преобразования корней и пр. Среди этих открытий сам Виет особенно высоко ценил установление зависимости между корнями и коэффициентами уравнений (формулы Виета).

Действительно, все мы знаем, как легко решать, например, квадратные уравнения. Для их решения имеются готовые формулы. До Ф. Виета решение каждого квадратного уравнения выполнялось по своим правилам в виде очень длинных словесных рассуждений и описаний, довольно громоздких действий. Даже само уравнение в современном виде не могли записать. Для этого тоже требовалось довольно длинное и сложное словесное описание. На овладение приемами решений уравнений требовались годы. Общих правил, подобных современным, а тем более формул решения уравнений не было. Постоянные коэффициенты буквами не обозначались. Рассматривались выражения только с конкретными числовыми коэффициентами.

Знаменитая теорема, устанавливающая связь коэффициентов многочлена с его корнями, была обнародована в 1591 году. Теперь она носит имя Виета, а сам автор формулировал ее так: "Если В+D, умноженное на А, минус А в квадрате равно ВD, то А равно В и равно D".

В трактате "Дополнения к геометрии" он стремился создать некую геометрическую алгебру, используя геометрические методы для решения уравнений третьей и четвертой степеней. Любое уравнение третьей и четвертой степени, утверждал Виет, можно решить геометрическим методом трисекции угла или построением двух средних пропорциональных.

Математиков столетиями интересовал вопрос решения треугольников, так как он диктовался нуждами астрономии, архитектуры, геодезии. Виет первым явно сформулировал в словесной форме теорему косинусов, хотя положения, эквивалентные ей, эпизодически применялись с первого века до нашей эры. Известный ранее своей трудностью случай решения треугольника по двум данным сторонам и одному из противолежащих им углов получил у Виета исчерпывающий разбор. Глубокое знание алгебры давало Виету большие преимущества. Причем интерес его к алгебре первоначально был вызван приложениями к тригонометрии и астрономии. Не только каждое новое применение алгебры давало импульс новым исследованиям по тригонометрии, но и полученные тригонометрические результаты являлись источником важных успехов алгебры. Виету, в частности, принадлежит вывод выражений для синусов (или хорд) и косинусов кратных дуг.

В мемуарах некоторых придворных Франции есть указание, что Виет был женат, что у него была дочь, единственная наследница имения, по которому Виет звался сеньор де ла Биготье. В придворных новостях маркиз Летуаль писал: "...14 февраля 1603 г. господин Виет, рекетмейстер, человек большого ума и рассуждения и один из самых ученых математиков века умер... в Париже. Ему было более шестидесяти лет".

Отметим также, что Виет дал первое в Европе аналитическое (с помощью формулы) представление числа р.

Умер Виет в возрасте 63 лет в 1603 г.

Научная деятельность

Виет чётко представлял себе конечную цель -- разработку нового языка, своего рода обобщённой арифметики, которая даст возможность проводить математические исследования с недостижимыми ранее глубиной и общностью:

Все математики знали, что под их алгеброй… были скрыты несравненные сокровища, но не умели их найти; задачи, которые они считали наиболее трудными, совершенно легко решаются десятками с помощью нашего искусства, представляющего поэтому самый верный путь для математических изысканий.

Виет всюду делит изложение на две части: общие законы и их конкретно-числовые реализации. То есть он сначала решает задачи в общем виде, и только потом приводит числовые примеры. В общей части он обозначает буквами не только неизвестные, что уже встречалось ранее, но и все прочие параметры, для которых он придумал термин «коэффициенты» (буквально: содействующие). Виет использовал для этого только заглавные буквы -- гласные для неизвестных, согласные для коэффициентов.

Виет свободно применяет разнообразные алгебраические преобразование -- например, замену переменных или смену знака выражения при переносе его в другую часть уравнения. Это стоит отметить, принимая во внимание тогдашнее подозрительное отношение к отрицательным числам. Показатели степени у Виета ещё записываются словесно.

Другие заслуги Виета:

знаменитые «формулы Виета» для коэффициентов многочлена как функций его корней;

новый тригонометрический метод решения неприводимого кубического уравнения, применимый также для трисекции угла;

первый пример бесконечного произведения:

полное аналитическое изложение теории уравнений первых четырёх степеней;

идея применения трансцендентных функций к решению алгебраических уравнений;

оригинальный метод приближённого решения алгебраических уравнений с числовыми коэффициентами;

частичное решение задачи Аполлония о построении круга, касающегося трёх данных, в сочинении Apollonius Gallus (1600). Решение Виета не проходит для случая внешних касаний.

виет теорема алгебраический многочлен формула

История числа р

Многие полагают, что раз число р обозначается буквой греческого алфавита, то придумали его непременно древние греки. Конечно же, такой аргумент несостоятельный -- мало ли что сегодня обозначается буквами греческого алфавита: б-лучи (физика), у-орбитали (химия), в-рецепторы (биология)... Древние эллины оставили исключительно глубокий след в истории человеческой цивилизации, но приписывать все исключительно им было бы не в согласии с исторической правдой.

Мы сегодня прекрасно осведомлены о том, кто построил первый самолет, придумал радио и телевизор, оставил первый след подошвы на поверхности Луны. А вот кто первый догадался о замечательной связи длины окружности и ее диаметра -- увы, не знает никто. Возможно, об этом догадался какой-нибудь дотошный мастер, изготавливающий колесо для легкой колесницы, или землекоп, обустраивающий круглый колодец. А, может быть, гончар, лесоруб, строитель... -- кто бы это ни был, имя этого гения история нам не сберегла.

А вот когда появилось первое обозначение знаменитого числа буквой р мы можем сказать с большой степенью уверенности. Его мы находим в работе "Synopsis Palmoriorum Matheseos" («Обозрение достижений математики») английского преподавателя Уильяма Джонса (1675-1749), вышедшей в 1706 году. Несколько раньше, в 1647 году, английский математик Оутред (1574-1660) (кстати, автор знакомого нам знака умножения « х ») букву р применил для обозначения длины окружности. По-видимому, к этому обозначению его подвигла первая буква греческого слова жернрерш -- окружность (отсюда наше: периферия).

Обозначение р для отвлеченного числа 3,141592... широко распространилось и, по сути, стало международным стандартом после того, как его стал применять выдающийся математик Леонард Эйлер (1707-1783) в своих получивших всемирную известность трудах. К этому обозначению Леонард Эйлер, скорее всего, пришел независимо от Джонса.

Представления о числе р претерпели удивительную эволюцию -- от смутных представлений древних, экспериментально -- буквально ощупью открывавших количественные закономерности окружающего мира до чрезвычайно глубоких математических теорий современности.

Натиск зыбучих песков забвения выдержали величественные «скалы-останцы» -- памятник древней шумеро-вавилонско-ассирийской культуры конца IV тысячелетия до нашей эры - начала нашей эры. Возможно, они уцелели под безжалостными ветрами истории лишь потому, что «сложены» были из обожженных на огне клинописных глиняных табличек. Из них мы узнаем о многогранных талантах и умениях древних жителей Междуречья.

Древние мастера уже делали многое из того, чем можем похвастаться мы. Делением года на 12 месяцев -- по числу знаков зодиака, а также суток -- на 24 часа мы обязаны древним халдеям. Прикладывая, школьный транспортир к углу, и определяя его величину в градусах, мы также отдаем дань памяти вавилонским ученым, впервые разделивших круг на 360 равных частей.

Как явствует из клинописных табличек, возраст которых -- ни много, ни мало -- несколько тысяч лет! -- жители Междуречья могли извлекать квадратные и кубические корни, решать квадратные уравнения, рассчитывать объемы плотин и осадных насыпей, имеющих довольно сложные геометрические очертания.

Но вот что удивительно: будучи искусными мастерами и инженерами, жители Междуречья применяли довольно грубое значение для числа р. Как следует из древних решений ряда задач, в своих расчетах они неявно пользовались значением р? 3.

Словесные рецепты древних вавилонян для вычисления площади круга можно выразить современной формулой

где S -- площадь круга, а С -- длина ограничивающей его окружности.

Способ, применявшийся для вывода этой формулы, неизвестен. Если в нее подставить знакомые современному школьнику выражения площади круга S =рr 2 и длины окружности С = 2рr, то из равенства

получим р=3.

Следующая задача содержится в одном из клинописных текстов, принадлежащих Британскому музею:

«60 длина окружности. 2, на сколько я спустился. Что есть хорда?» Речь в этой задаче идет о вычислении длины хорды АВ, стрелка которой CD равна 2, причем длина окружности равна 60.

Вот как нам предлагает решать эту задачу неизвестный вавилонский математик (числа записаны в удобной для нас десятичной системе счисления, которой в Междуречье не пользовались):

«Ты возведи 2 в квадрат, 4 ты видишь. 4 от 20, диаметра, отними, 16 ты видишь. 20, диаметр, возведи в квадрат, 400 ты видишь. 16 возведи в квадрат, 256 ты видишь. 256 от 400 отними, 144 ты видишь. Что есть квадратный корень из 144? 12, квадратный корень, это хорда. Таков способ».

Если не обращать внимания на одну вычислительную погрешность, то приведенный рецепт нахождения хорды соответствует формуле,

которую может вывести современный школьник (здесь а = АВ, h -- CD, d -- диаметр окружности).

Примечательно, что в приведенном тексте при длине окружности С = 60 диаметр d получается равным 20 -- это соответствует значению р = 3. Тот факт, что радиус помещается в окружности в качестве хорды 6 раз, оставил неизгладимый отпечаток в мировоззрении жителей Междуречья. Они разделили год на 360 дней и сообразно этому круг (видимую орбиту Солнца) на 360 градусов.

В одной из глиняных табличек, найденных при раскопках 1936 года города Сузы, более чем в 200 милях к востоку от Вавилона, обнаружены расчеты, использующие более точное приближение для числа р: р? 3?. Известный историк науки профессор Отто Нейгебауэр полагает, что древним месопотамским вычислителям было известно лучшее приближение для р, применявшееся в тех случаях, когда грубое приближение р? 3 приводило к явно неправильным результатам. Однако не все специалисты разделяют его точку зрения. Например, Айзик Абрамович Вайман считает, что в «математических задачах значение р = 3?. - обнаружено лишь в одном случае, и то сомнительном».

Более точное значение для р использовали древние египтяне. В Лондоне и Нью-Йорке хранятся две части древнеегипетского папируса, который цитируют как «папирус Ринда (или Райнда)» -- по имени Henry Rhind мецената, приобретшего этот папирус в 1858 году. Гораздо логичнее было бы называть документ именем писца Ахмеса, составившего его в промежутке между 2000 и 1700 годами до нашей эры. Этот папирус был найден в 1858 году, расшифрован и опубликован А. Эйзенлором в 1877 году.

Стиль изложения Ахмеса близок к стилю древневавилонских табличек. В его записях мы также находим рецепты решения различных практических задач. В одной из таких задач папируса дается «наставление, как вычислить круглый хлебный амбар», имеющий форму круглого цилиндра с диаметром у основания 9 локтей. Для вычисления площади основания предлагается такой рецепт:

Из каких соображений получена эта формула? -- Неизвестно. Тем не менее, современные исследователи пытаются найти теоретические обоснования, которыми могли бы руководствоваться древние при ее выводе. Мы остановимся на двух современных реконструкциях вывода этой формулы, не лишенных изящества.

Находка профессора Глейзера

Одно из ранних приближений для числа р можно извлечь из канонического текста Библии, датируемого примерно X-V веками до нашей эры. В третьей книге Царств подробно рассказывается о том, как мастер Хирам сооружал по заказу правителя Иудейского Израильского царства Соломона храм. Это культовое сооружение украшал большой бассейн для омовения священнослужителей под названием «медного моря»:

Академик Российской академии образования профессор Г. Глейзер сравнительно недавно исследовал первоисточник процитированного выше текста. И вот к каким удивительным выводам пришел (поистине: удивительное рядом, только не нужно закрывать на него, глаза!)

В оригинальном тексте Ветхого завета слово линия (снурок) имеет два значения. Рядом с этим словом приписана буква ГЕЙ, про которую инструкция на полях указывает, что эта буква не произносится. Древним иудеям было свойственно придавать буквам ивритского алфавита определенные числовые значения. Если подсчитать сумму значений букв удлиненного слова (с буквой ГЕЙ), и укороченного (без этой буквы), то отношение двух полученных чисел оказывается равным 111106=1,0471698 ... Профессор Г. Глейзер предполагает, что упоминаемую в тексте длину снурка 30 локтей нужно умножить на этот коэффициент, тогда более точное значение длины окружности «литого моря» окажется равным 31,415094... Соответственно этому новому значению длины снурка получаем р = 3,1415094..., что совпадает с точным значением р = 3,141592... в первых четырех знаках. Это дало повод профессору Г. Глейзеру выдвинуть сенсационную гипотезу: еще в Древнем мире времен царя Соломона знали о числе р с точностью до 4-5 знаков.

В дошедших до нас с незапамятных времен математических текстах встречаются приближения для числа р различной точности. Все их можно охарактеризовать одной фразой: значение для р есть, но из каких соображений оно было получено -- неизвестно. Скорее всего, древние тщательно анализировали и сопоставляли результаты измерений окружающих их предметов. Любой здравомыслящий человек, столкнувшись с практической проблемой измерения длины окружности, может предложить множество способов, как это сделать: «померить» окружность ниточкой, «обкатать» ее линейкой или, наоборот, «прокатить» окружность вдоль линейки. В этой связи не вызывает удивления способ средневекового магистра Франкона из Льежа, который догадался сравнивать площади круга и квадрата взвешиванием фигур на весах. Опыт, практика, эмпирические данные играют важную роль в осмыслении закономерности окружающего мира и помогают выдвигать гипотезы, относящиеся к миру идей и абстракций -- миру математики. Ниже приводятся некоторые сведения о найденных древними математиками приближениях для числа р. Происхождение их неизвестно.

Любопытно, что живший в раннехристианскую эпоху римский архитектор Витрувий пользовался достаточно грубым приближением для числа р. Он проектировал внушительных размеров Римский театр и даже разрабатывал проекты городов. Но точность 3? для числа р его вполне удовлетворила!

В приведенной выше таблице обнаруживаются и удивительно точные значения. Результат китайского математика и астронома Цзу Чун-чжи отличается от точного значения р= 3,14159265... лишь в седьмом знаке после запятой! Очень долго (вплоть до реформ Петра-I) математическая мысль России находилась в глубоком летаргическом сне. В одной из берестяных грамот XVII века «Чта какое место по округе ведать вдоль и поперег» мы находим различные приближенные способы определения площадей круглых полей. Например, для решения задачи: «Было поле кругом 1 488 сажен. И ты скажи: что в том будет четвероугольном сажен и что вереди круга в дол и поперег до окольной меры мерою» предлагается такой рецепт: «... возьми меры, что кругом ево будет сажен и ту окружную меру раздели на четыре части; а четвертым паем таковожь число умножь: столько в том поле четвероугольных сажен будет, единую сажен не поте-ряешь.» В нашей символике этот рецепт можно записать в виде формулы:

Французскому математику Франсуа Виету (1540-1603) удалось выразить число р бесконечным произведением радикалов:

При выводе своей формулы Виет исходил из следующего свойства правильных вписанных в круг единичного радиуса многоугольников:

где S k , S 2k --площади правильных вписанных в круг единичного радиуса k -угольника и 2k -угольника; h k --апофема k-угольника. Отсюда

Между апофемами h 2k и h k правильных вписанных в круг единичного радиуса 2k- и k-угольника существует следующая связь:

Ее можно получить из соотношения

между апофемой h и стороной a правильного вписанного в круг единичного радиуса многоугольника. Поскольку, то из предыдущего равенства получаем: