(Документ)

Емельянов В.М., Рыбакина Е.А. Уравнения математической физики. Практикум по решению задач (Документ)

(Документ)

Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики (Документ)

Шапиро Д.А. Конспект лекций по математическим методам физики. Часть1: Уравнения в частных производных. Специальные функции. Асимптотические методы (Документ)

Франк Ф., Мизес Р. Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики (Документ)

Араманович И.Г, Левин В.И. Уравнения математической физики (Документ)

Сухинов А.И., Зуев В.Н., Семенистый В.В. Курс лекций по уравнениям математической физики с примерами и задачами (Документ)

n1.doc

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Омский государственный технический университет»

Г.А.Троценко, О.Г.Жукова, М.В.Мендзив

ПРАКТИКУМ

ПО УРАВНЕНИЯМ

МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ.

Стационарное уравнение.

Интегральные уравнения

Омск –2007
УДК 51:53 (075)

ББК 22.311я 73

Т 76
Рецензенты:

Г. А. Троценко, О. Г. Жукова, М. В. Мендзив

Т 76 Практикум по уравнениям математической физики. Стацио-

нарное уравнение. Интегральные уравнения. – Омск: изд-во

ОмГТУ, 2007. – 72с.

Практикум предназначен для методического обеспечения практических занятий по новому годовому курсу «Уравнения математической физики» для студентов специальности 071100 «Динамика и прочность машин». Содержит решения типовых задач, набор задач для самостоятельного решения с ответами.

Печатается по решению редакционно-издательского совета

Омского государственного технического университета

УДК 51:53 (075)

ББК 22.311я 73

С Г. А. Троценко, О. Г. Жукова, М. В. Мендзив, 2007

С Омский государственный технический университет, 2007

Тема 1. СТАЦИОНАРНОЕ УРАВНЕНИЕ
Уравнение

(1.0)

где
– лапласиан, – заданная функция, называется уравнением Пуассона.

При
уравнение Пуассона называется уравнением Лапласа

В декартовых, цилиндрических и сферических координатах соответственно лапласиан имеет следующий вид:

,



Для уравнения (1.0) в области
, ограниченной замкнутой поверхностью S , ставятся следующие краевые задачи:
1. Задача Дирихле

В области найти дважды непрерывно дифференцируемую функцию, удовлетворяющую уравнению (1.0) и принимающую на границе S заданные значения

.
2. Задача Неймана

В области найти дважды непрерывно дифференцируемую функцию, удовлетворяющую уравнению (1.0) и на поверхности S условию

,

где
– производная по направлению единичного вектора внешней нормали n к S.
3. C мешанная задача

Найти решение уравнения (1.0), удовлетворяющее условию

1.1. Решение задачи Дирихле для круга методом Фурье
Задача Дирихле для уравнения Лапласа в круге формулируется так: найти функцию
, удовлетворяющую внутри круга уравнению Лапласа

(1.1)

и принимающую заданные значения на границе круга, т.е.

. (1.2)

В полярных координатах
уравнение (1.1) имеет вид

(1.3)

Частные решения уравнения (1.3) будем искать в виде

Подставляя (1.4) в (1.3), получаем

Отсюда следует, что функция
является решением уравнения

, (1.5)

а для функции
получаем задачу на собственные значения

(1.6)

Здесь условие периодичности функции является следствием периодичности искомого решения
по переменной с периодом
.

Ненулевые периодические решения задачи (1.6) существуют только при и имеют вид

где
и
– произвольные постоянные.

Из (1.5) для функции при
получаем уравнение

. (1.8)

Частные решения этого уравнения будем искать в виде
Подставляя эту функцию в (1.8), получаем
. Следовательно,
или
. Второе из этих решений следует отбросить, т.к. при
функция не является гармонической в круге
.

Таким образом, согласно (1.4), частные решения уравнения (1.3) можно записать так:

Решение внутренней задачи Дирихле находим в виде ряда

Выполняя граничные условия (1.2), получаем

Разложим функцию
в ряд Фурье

– коэффициенты Фурье .

Сравнивая ряд (1.9) с рядом (1.10), получаем

Таким образом, решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа в круге имеет вид

(1.12)
Пример 1. Найти гармоническую внутри единичного круга функцию , принимающую на его границе значения
.

Решение. Задача сводится к решению уравнения

при условии

.

Согласно (1.12), решение примет вид

(1.13)

Коэффициенты
вычислим по формулам (1.11). При вычислении интегралов будут использованы следующие свойства:

– четная функция;

– нечетная функция.
.

При

.

.

Подставляя найденные коэффициенты в (1.13), получаем решение задачи

.

Найти функцию, гармоническую внутри круга радиуса R с центром в начале координат и удовлетворяющую на границе круга условию
.

1. , .	2. , .
3. , .	4. , .
5. , .	6. , .
7. , .	8. , .
9. , .	10. , .

Ответы

1. .
2. .
3. .
4. .
5. .
6. .
7. .
8. .
9. .
10.

1.2. Решение краевых задач в шаре с использованием сферических функций

Задача Дирихле для уравнения Лапласа в шаре формулируется так: найти функцию
, гармоническую внутри шара и принимающую на поверхности S шара заданные значения, т.е.

. (1.15)

Уравнение (1.14) в сферических координатах
имеет вид

Частные решения уравнения (1.16) будем искать в виде однородного многочлена степени

Подставляя (1.17) в (1.16), получим, что функция
должна удовлетворять уравнению

Дважды непрерывно дифференцируемые ограниченные решения уравнения (1.18) называются сферическими функциями порядка .

Для нахождения решений уравнения (1.18) применим метод разделения переменных. Будем искать решение
уравнения (1.18) в виде произведения двух функций

Учитывая, что , получим

(1.19)

откуда и

– решения задачи (1.19).

Функция
определяется из уравнения

И, следовательно, задача нахождения сферических функций на единичной сфере сводится к отысканию решений уравнения (1.20) при . Полагая в (1.20)
, для

Функции ,
, получаем уравнение

Ограниченными решениями уравнения (1.21) являются присоединенные многочлены Лежандра

,

где – многочлены Лежандра.

Возвращаясь к переменной , находим частные решения уравнения (1.20):

,

причем при
.

Таким образом, частные решения уравнения (1.18), ограниченные на единичной сфере, имеют вид:
,
. Их линейные комбинации с произвольными коэффициентами

также являются частными решениями уравнения (1.18), а частные решения уравнения (1.16) даются формулами

Решение внутренней задачи Дирихле в шаре (и других внутренних задач) находится в виде ряда по сферическим функциям

. (1.23)

Разлагая функцию
в ряд по сферическим функциям

и используя граничное условие, находим
.

Задача Неймана для уравнения Лапласа в шаре формулируется так: найти функцию , гармоническую внутри шара , нормальная производная которой на поверхности S шара принимает заданные значения, т.е.

. (1.24)

Разложение в ряд по сферическим функциям имеет вид

.

В , п. 1.7 показано, что решение задачи (1.24) определяется с точностью до произвольной постоянной и дается формулой

. (1.25)

Приведем формулы для многочленов Лежандра
,
при
:

, т.к.

.

Аналогично получим:

.

Пользуясь формулой (1.22), выпишем сферические функции в явном виде для
:

Пример 2. Найти функцию
, гармоническую внутри единичного шара и удовлетворяющую на границе шара условию .
Решение. Представим функцию

Из формул для
следует, что

При

;

При
.

Следовательно,

.
Тогда, согласно формуле (1.23), решение внутренней задачи Дирихле имеет вид

.
Пример 3. Пусть теперь на границе шара выполнено условие

.

Решение. Представим функцию
в виде

Функцию будем искать, согласно формуле (1.23), в виде

Где , – те же функции, что и в разложении , с неопределенными коэффициентами. Найдем эти коэффициенты, используя граничное условие
. Имеем

Следовательно,

Приравнивая коэффициенты левой части к коэффициентам правой, получим

Таким образом, решение внутренней задачи Неймана имеет вид

что подтверждает формула (1.25).
Задачи для самостоятельного решения

1. Найти функцию, гармоническую внутри единичного шара и удовлетворяющую на границе шара условию: А) . Б) . В) . Г) .

2. Найти функцию, гармоническую внутри шара радиуса R с центром в начале координат и удовлетворяющую на границе шара условию: А) . Б) .

Ответы

1.а. .

1.б. .

1.в. .

1.г. .

1.д. .

2.а. .

2.б. .

2.в. .

2.г. .

2.д. . Указание: .

2.е. . Указание : . Решение следует искать в виде .

2.ж. . Указание : Решение следует искать в виде

1.3. Метод функции Грина
Пусть дана область в пространстве, ограниченная поверхностью S. Рассмотрим задачу Дирихле для уравнения Пуассона

(1.26)

Решение поставленной задачи в некоторых случаях может быть получено с помощью функции Грина.

Зафиксируем произвольно точку
внутри области и пусть
– любая точка внутри или на границе области .
Построим три функции от пары точек , :

Функция удовлетворяет по первой точке при фиксированной второй уравнению Лапласа

и называется фундаментальным решением уравнения Лапласа в пространстве .
2)
– решение задачи Дирихле специального вида

Функция G называется функцией Грина задачи Дирихле (1.26).

Из определения следует

1.
внутри , кроме .

Если функция G известна, то решение задачи Дирихле (1.26) в точке
дается формулой

где
– производная функции G на границе S, взятая по направлению внешней нормали к S.
Для двумерной области с границей S функция Грина определяется аналогично

Функция Е называется фундаментальным решением уравнения Лапласа на плоскости.

2)
такая, что

Решение первой краевой задачи для уравнения
при этом дается формулой

. (1.28)

Пример 4. Найти решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа в полупространстве
, т.е.

Решение. Выберем любую точку ,
Пусть – текущая точка. Построим точку
, симметричную с точкой относительно плоскости
(рис. 1). Соединим с , расстояние обозначим через . Соединим с , расстояние обозначим через .

Рис. 1

– решение задачи

Положим .

Очевидно, , чтобы x пропорциональны. Тогда функция:, при условии 2.б. 6.а.

.

6.б.
.

6.в.
.

Краткое описание

Необходимость нахождения решения эллиптических уравнений в ограниченных и неограниченных областях возникает в различных задачах математической физики. Как правило, в подобных задачах источники сосредоточены на некотором ограниченном множестве S, так что находить решение во всем пространстве нет необходимости. Это позволяет заменить исходную задачу задачей в некоторой ограниченной области, на границе которой поставлены искусственные граничные условия. Проблеме построения таких условий посвящено большое количество работ. В идеальном случае искусственные граничные условия должны быть выбраны так, чтобы решение задачи в ограниченной расчетной области совпадало в этой области с решением исходной задачи. Однако точные искусственные граничные условия являются, как правило, нелокальными и требуют значительных вычислительных затрат при реализации. Поэтому на практике их обычно приходится заменять приближенными локальными условиями

Вложенные файлы: 1 файл

Введение………………………………………………………… ………………………3

1. Постановка задач………………………………………………………………… ….4

2. Решение задачи Дирихле для шара…………………………………………………6

3. Задача Дирихле для внешности сферы……………………………………………12

Заключение…………………………………………………… ……………………… 14

Список использованной литературы………………………………………………… 15

Введение

Необходимость решения эллиптических уравнений в неограниченной области возникает в различных задачах математической физики. Как правило, в подобных задачах источники сосредоточены на некотором ограниченном множестве S, так что находить решение во всем пространстве нет необходимости. Это позволяет заменить исходную задачу задачей в некоторой ограниченной области, на границе которой поставлены искусственные граничные условия. Проблеме построения таких условий посвящено большое количество работ. В идеальном случае искусственные граничные условия должны быть выбраны так, чтобы решение задачи в ограниченной расчетной области совпадало в этой области с решением исходной задачи. Однако точные искусственные граничные условия являются, как правило, нелокальными и требуют значительных вычислительных затрат при реализации. Поэтому на практике их обычно приходится заменять приближенными локальными условиями.

1. Постановка задач

Будем рассматривать два типа областей: конечные и бес­конечные. В обоих случаях границу области будем предпола­гать конечной; как всегда, граница предполагается состоящей из конечного числа кусочно-гладких поверхностей. В последующих главах иногда - это будет каждый раз особо оговариваться - будут рассматриваться так называемые полубесконечные области, границы которых бесконечны. Про­стейшим примером полубесконечной области является полу­пространство.

Краевая задача для эллиптического уравнения называется внутренней, если искомая функция должна быть определена в конечной области, и внешней, если эта функция должна быть определена в бесконечной области.

Важнейшими краевыми задачами для эллиптического урав­нения второго порядка являются задача Дирихле (первая краевая задача) и задача Неймана (вторая краевая задача). Рассмотрим эллиптическое уравнение общего вида

Внутреннюю задачу Дирихле для этого уравнения сфор­мулируем следующим образом.

Пусть G - конечная область с кусочно-гладкой границей Г и φ(x) - функция, заданная и непрерывная на границе Г.

Требуется найти решение уравнения (1), которое принадле­жало бы классу и совпадало бы на границе с заданной функцией φ(x):

u(x) = φ(x), x€Г

Внутреннюю задачу Неймана для того же уравнения (1) сформулируем таким образом.

Найти решение u(x) уравнения (1), обладающее свой­ствами:

u Є ; на множестве тех точек xЄГ, в которых существует нормаль ν к поверхности Г, выпол­няется равенство

Здесь х" - точка, лежащая внутри G на нормали ν, х"k - декартовы координаты этой точки, а ψ(x)- функция, задан­ная на упомянутом множестве точек поверхности Г.

Краевое условие задачи Неймана мы будем ниже записы­вать короче в виде

Запись (31) можно понимать буквально, если u C(1)(G).

Если Ajk = δjk, то старшие члены уравнения (1) образуют оператор Лапласа; само уравнение принимает вид

Краевое условие (31)принимает в этом случае особенно простую форму:

Внешние задачи отличаются от соответствующих внутрен­них только тем, что на неизвестную функцию накладывается добавочное требование

2. Решение задачи Дирихле для шара

Пусть дан шар ШR радиуса R с центром в начале координат. Поставим задачу об отыскании функции uЄC(ШR), гармонической в шаре и удовлетворяющей краевому условию

где SR - граница шара и φ(x) - функция, заданная и непрерывная на сфере SR.

Решать нашу задачу будем следующим образом. Предполагая, что решение существует и удовлетворяет некоторым более жестким требованиям, мы построим формулу, определяющую решение по данным задачи. После этого мы докажем, что построенная формула на самом деле дает решение задачи.

Пусть поставленная нами задача имеет решение u(x), принадлежащее классу

Напишем интегральное представление этого решения

Возьмем точку x внутри шара, и пусть x" - точка, симметричная с точкой x относительно сферы SR (рис. 1). Это значит, что точки x и x" лежат на одном луче, проходящем через центр шара, и что

Обозначим

r = | x - ξ |, r" = | x"- ξ |.

Заметим, что r’≠0, когда точка ξ движется внутри сферы или по ее поверхности. Введем функцию

она гармонична в любой области, не содержащей точки х". В частности, функция (4) гармонична в шаре ШR.

К паре функций и и v применим формулу Грина (6.10) гл. 10. Обе функции гармоничны, поэтому объемный интеграл исчезает, и мы получаем

Для дальнейшего важно то обстоятельство, что первые члены под интегралами (2) и (5) отличаются только множи­телем, не зависящим от ξ. Эго можно доказать на основании того простого соображения, что треугольники Охξ и Ох’ξ (рис. 1)

подобны. Действительно, у этих треугольников угол в точке О общий, а заключающие этот угол стороны про­порциональны в силу соотношения (3). Из подобия треуголь­ников следует, что

и, следовательно,

так что и отличаются множителем, не зависящим от ξ.

Умножим формулу (5) на

И вычтем из формулы (3):

Замечая, что в силу краевого условия задачи Дирихле

получаем формулу для решения (в предположении, что оно существует и принадлежит классу):

Формулу (6) можно упростить. Прежде всего, для шара направления внешней нормали и радиуса совпадают, поэтому

Отметим еще формулы

здесь xk и x’k координаты точек х и х’ соответственно.

Легко вычислить второй член под знаком интеграла (6):

Аналогично

Умножим это выражение на; учитывая ранее полученное соотношение, получаем

точки x и x" лежат на одном луче, проходящем через начало, поэтому

и следовательно,

Подставляя выражения (7) и (8) в интеграл (6), получим окончательно

Формула (9) называется формулой Пуассона, а выражение

­– ядром Пуассона.

Из наших рассуждений следует, что формула Пуассона, во всяком случае, справедлива для любой гармонической функции класса

Отметим некоторые свойства ядра Пуассона.

1. Ядро Пуассона неотрицательно. При ρ = R оно всюду равно нулю, кроме точки х = ξ, вблизи которой оно неограничено.

2. Если точка х меняется внутри шара, то ядро Пуас­сона есть гармоническая функция от х.

3. Справедлива формула

В самом деле, будем искать функцию, гармоническую в шаре и принимающую на границе значение 1. В силу тео­ремы единственности решение этой задачи Дирихле всюду будет равно 1. Очевидно, что 1 Є и для нее спра­ведлива формула Пуассона, которая в данном случае совпа­дает с формулой (10).

Докажем теперь, что если функция (р (х) непрерывна на сфере S%, то формула Пуассона дает гармоническую в ШR функцию, которая имеет в любой точке x0 сферы SR предельное значение φ(x0).

Пусть u(x) - функция точки х, определенная внутри шара ШR формулой Пуассона (9). Очевидно, что эта функ­ция непрерывна и имеет производные всех порядков внутри шара. Легко видеть, что она гармоническая:

Пусть точка х стремится изнутри сферы SR к точке x0, лежащей на этой сфере. Из формулы (9) вычтем формулу (10), предварительно умноженную на φ(х0):

Функция φ(х) непрерывна на сфере SR; выберем на SR сферическую окрестность σ точки х0 столь малую, чтобы

где ε – произвольно выбранное положительное число. Заме­тим, что в SR\σ

| ξ – x0 | ≥ δ,

где δ – радиус окрестности σ.

Оценим разность u(x) – φ(x0), для чего интеграл (11) разобьем на два: по σ и по SR\σ

Для первого интеграла имеем

Мы получили оценку для первого интеграла независимо от положения точки х. Второй интеграл можно сделать малым за счет близости точек x и x0. Возьмем эти точки столь близкими, чтобы выполнялось неравенство

| х- x0 | < δ/2.

Функция φ непрерывна на замкнутом множестве и потому ограничена. Пусть | φ(ξ) | ≤ M=const, тогда | φ(ξ) – φ(x0) | ≤ 2M.

Теперь имеем

Возьмем число h>0 столь малым, чтобы

Тогда если | x0 – x | < h, то R – ρ = | x0 | – | x | ≤ | x0 – x | < h и | u(x) – φ(x0)| < ε Отсюда следует, что

Функцию и(х), определенную в открытом шаре формулой Пуассона (9), доопределим на сфере SR, положив и(х)=а(х), х Є SR. Доопределенная таким образом функция гармонична внутри шара, непрерывна, в силу формулы (12), в замкнутом шаре и удовлетворяет краевому условию (4). Задача Дирихле для шара решена.

3. Задача Дирихле для внешности сферы

Пусть 2 -внешность шара радиуса R с границей SR и пусть требуется найти функцию u(x), гармоническую в 2 и удовлетворяющую краевому условию

Докажем, что решение этой задачи дается формулой Пуассона

где, r = | ξ - x | и ρ = | x |

Доказывается, что функция u(x), определяемая формулой (2), имеет вне сферы SR непрерывные производные всех порядков и удовлетворяет уравнению Лапласа. Исследуем поведение этой функции на бесконечности. Очевидно, r ≥ ρ–R. Отсюда

Нас интересуют большие значения ρ. Будем, поэтому считать,

что ρ>2R. Тогда и. Теперь

и функция u(x) гармонична вне шара.

Остается доказать предельное равенство

Эллиптические уравнения 2 страница

Поведение гармонической функции на бесконечности

Пусть точка лежит вне шара . Совершим преобразование инверсии

Точки и называются симметричными относительно сферы .

Симметричные точки удовлетворяют соотношению

и поэтому преобразование инверсии взаимно однозначно преобразует внешность шара на . Пусть функция – гармоническая вне шара . Функция

называется преобразованием Кельвина функции .

Утверждение (без доказательства) . При преобразовании Кельвина (4.17) гармоничность сохраняется, то есть, если функция гармонична в , то функция гармонична в .

Лемма (об устранимой особенности) . Пусть – изолированная особая точка функции и во всех точках некоторой шаровой окрестности точки функция гармонична, причем . Тогда может быть доопределена в точке до гармонической.

Доказательство . В дальнейшем будет доказана формула Пуассона, согласно которой можно построить гармоническую в шаре функцию , принимающую на те же значения, что и (т.е. принимающую на заданные значения). Рассмотрим также функцию , где – радиус . Последняя функция неотрицательна при и гармонична в области (см. лемму 1). При эта функция растет как , поэтому, если функция при растет медленнее, то есть , или при , то существует такое число при , что при и . При в этом неравенстве обе части равны нулю и неравенство верно при любом выборе функции , а для выполнения этого неравенства при примем за наибольшее значение выражения (заметим, что при растет медленнее по условию, а – вообще ограничена, как гармоническая). Так как функции и обе являются гармоническими в области , то неравенство выполненное на границе области, по принципу максимума выполнено и внутри . (Действительно, если, например, на границе, то эта разность не может быть больше нуля внутри области).

Зафиксируем точку и устремим к нулю. Правая часть неравенства будет стремиться к нулю, а так как его левая часть не зависит от , то для любой точки и, следовательно, функция равенством может быть доопределена до гармонической при . Лемма доказана.

Теорема . Пусть гармоническая вне шара функция. Тогда при

Доказательство . По определению гармонической в области с выходами на бесконечность функции, при , то есть при . Совершая преобразование Кельвина, получим функцию гармоническую в и удовлетворяющую при условию . По лемме 4 об устранимой особенности заключаем, что – гармоническая в функция. Совершая обратное преобразование Кельвина для функции получим представление из которого (и из ограниченности в шаре гармонической функции ) вытекает первая из оценок (47.18). Для получения второй оценки достаточно продифференцировать представление по каждой из независимых переменных . Теорема 3 доказана.

Доказанная теорема и преобразование Кельвина позволяют внешние краевые задачи сводить к внутренним и наоборот.

Теоремы единственности решений краевых задач для уравнения Лапласа

Теорема . Решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа, как внутренней так и внешней, единственно в классе функций .

Доказательство . Рассмотрим вначале внутреннюю задачу Дирихле. Предположим, что существуют два решения и одной и той же задачи Дирихле. Тогда их разность будет гармонической и . Отсюда по принципу максимума следует, что в , то есть , так как в противном случае она должна была бы достигать внутри наибольшего положительного или наименьшего отрицательного значений, что невозможно.

Рассмотрим теперь внешнюю задачу Дирихле.

Как и ранее, предположим, что существуют два решения и . Тогда их разность будет гармонической функцией, равной нулю на и равномерно стремящейся к нулю при , то есть для любого найдется такое , что для справедливо неравенство .

Пусть – произвольная точка области . Проведем сферу с радиусом – настолько большим, чтобы и поверхность лежали внутри . Кроме того, выберем настолько большим, чтобы по произвольно заданному при было выполнено неравенство . Тогда, как следует из теоремы о максимуме, примененной к области , неравенство выполнено для всех . В силу произвольности заключаем, что , а так как – произвольная точка, то в , то есть . Теорема 4 доказана.

Теорема . Решение внутренней задачи Неймана определено с точностью до произвольной аддитивной постоянной. Необходимым условием разрешимости этой задачи является равенство

Доказательство . Если и – два решения внутренней задачи Неймана, то их разность и имеет нулевую нормальную производную на . Применяя первую формулу Грина (47.3) к , получим , откуда следует, что , так что .

Необходимость условия (47.19) разрешимости внутренней задачи Неймана вытекает из условия (4.2) и второй формулы Грина (47.4), примененной к функциям и – решению задачи. Действительно, . Теорема доказана.

Теорема . Решение внешней задачи Неймана единственно.

Доказательство . Пусть и – два решения внешней задачи Неймана. Тогда – гармоническая в функция. По теореме 3 о поведении при гармонических функций имеем . Применяя первую формулу Грина (47.3) к области при , получим

Но из оценок поведения при следует

Устремляя , получим из (47.20) и (47.21) , но , следовательно, при всех . Теорема доказана.

§ 48. Функция Грина задачи Дирихле

Предварительные рассуждения . Пусть – гармоническая функция и . Тогда имеет место формула (47.12) (3-е свойство гармонической функции):

Пусть также известна функция , обладающая следующими свойствами:

1. гармонична по в и ;

Применяя вторую формулу Грина к гармоническим функциям и , получим

(интегрирование ведется по ). Из второго свойства функции следует

Вычитая последнее равенство из (48.1), получим

Обозначим

Эта функция называется функцией Грина задачи Дирихле.

Определение . Функцией Грина внутренней задачи Дирихле для уравнения Лапласа в области называется функция , удовлетворяющая следующим условиям

1. – гармоническая по ;

3. При справедливо представление (48.5), где – гармоническая в функция.

Построение функции Грина сводится к нахождению ее регулярной части , которая определяется из задачи Дирихле

С помощью функции Грина решение внутренней задачи Дирихле (если оно существует) задается формулой, вытекающей из (48.4)

При выводе формулы (48.5) предполагалось существование решения внутренней задачи Дирихле с граничными значениями , непрерывного вместе со своими производными вплоть до границы . Искомая же функция в задаче Дирихле должна быть гармонической внутри области и непрерывной в замкнутой области . Таким образом, не давая доказательства существования решения, формула (48.5) дает интегральное представление существующих достаточно гладких решений задачи Дирихле. А.М. Ляпунов изучал представление (48.5) решения задачи Дирихле и установил, что если граница области «достаточно хорошая», формула (48.5) представляет решение задачи Дирихле при любом выборе функции , входящей в граничные условия.

Совершенно аналогично вводится функция Грина для внешней задачи Дирихле.

Некоторые свойства функции Грина внутренней

задачи Дирихле

Свойство 1 . .

Доказательство . На границе и на , если – достаточно мало (так как при ). Отсюда в силу принципа максимума (см. теорему 2) вытекает искомое утверждение.

Замечание . Так как , то по принципу максимума, при всех и, следовательно,

Свойство 2 . Функция Грина симметрична .

Для доказательства применим вторую формулу Грина (47.3) к функциям и , а в качестве области интегрирования возьмем – настолько мало, что . В силу гармоничности функций и объемный интеграл будет равен нулю. Интеграл по поверхности также равен нулю, в силу граничного условия . Следовательно, имеет место равенство

Так как при для сферы справедливо равенство

где и – непрерывные, ограниченные функции, то учитывая, что , имеем . Откуда

Учтем также, что

где – непрерывная ограниченная функция. Поэтому

Дата публикования: 2015-01-23 ; Прочитано: 219 | Нарушение авторского права страницы | Заказать написание работы

сайт - Студопедия.Орг - 2014-2020 год. Студопедия не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования (0.013 с) ...

Отключите adBlock!
очень нужно