Другим методом оценки или анализа чувствительности на основе компьютерной имитации является метод Монте-Карло, под которым понимают определенный метод решения некоторого класса экономических или математических задач, в которых те или иные параметры, в нашем случае факторы риска, моделируются в форме случайных величин. Этот метод основан на компьютерной имитации распределений этих случайных величин и формировании соответствующих оценочных показателей проектов на основе этих распределений. Он представляет собой имитационный метод анализа устойчивости, который исторически получил свое название по названию города, в котором располагаются известные игорные дома и казино. Термин "моделирование по методу Монте-Карло" был предложен американскими учеными С. Уламом и Дж. фон Нейманом в процессе работы в рамках известного Манхэттенского проекта. Первая статья по этой проблематике была написана в 1949 г. .
С одной стороны, метод Монте-Карло представляет собой определенную модификацию рассмотренного выше дискретного анализа чувствительности, поскольку речь идет об оценке влияния изменения параметров денежного потока на чистую настоящую стоимость и другие критерии оценки инвестиционных проектов. С другой - основное отличие от дискретного метода состоит в том, что в процессе применения метода Монте-Карло формируется некоторое распределение значений чистой настоящей стоимости проекта, ставки внутреннего процента, индекса доходности и других показателей, которое определяется в зависимости от имитируемых случайных распределений выбранных факторов риска. Это позволяет получать определенные оценки этого распределения в форме дисперсии, стандартного отклонения или коэффициента вариации по чистой настоящей стоимости или иному результирующему показателю, анализ которых позволяет сделать выводы об устойчивости будущих условий исполнения проекта, возможностях получения благоприятных или неблагоприятных результатов. Рассматриваемый метод основан на имитационном моделировании на компьютере случайных распределений выбранных параметров денежного потока - факторов риска, на базе которых формируется распределение показателей оценки рассматриваемого проекта .
При проведении расчетов по методу Монте-Карло предполагается, что известны значения всех параметров, определяющих величину отдельных компонентов денежного потока инвестиционного проекта. Для тех параметров, которые рассматриваются в качестве факторов риска, исходное значение принимается в качестве ожидаемого при моделировании случайного распределения этого фактора на ЭВМ.
Организационно метод Монте-Карло как метод имитационного компьютерного моделирования можно описать такой последовательностью основных этапов.
Определение основных показателей оценки инвестиционного проекта , по отношению к которым будет измеряться влияние факторов риска. К числу таких показателей могут быть отнесены: чистая настоящая стоимость проекта, ставка внутреннего процента, индекс доходности, период окупаемости или другие по желанию инвестора, предполагающего осуществить рассматриваемый проект.
Выделение параметров , рассматриваемых как факторы риска , которые будут моделироваться в форме случайных величин. Для их численной реализации предполагается проводить компьютерное моделирование на основе генераторов псевдослучайных чисел, встроенных в пакет Microsoft Excel, на основе заранее выбранной формы распределения. Для анализа выделяют те компоненты денежного потока, которые, но мнению инвестора, менеджера или эксперта в соответствующей области, оказывают наиболее сильное влияние на изменение выделенного показателя проекта, т.е. являются наиболее существенными факторами риска. В принципе можно рассмотреть, как случайные все параметры всех компонентов денежного потока, но это связано с тремя проблемами. Во-первых, увеличение числа выделенных случайных параметров может привести к противоречивым результатам вследствие коррелированное™ рассматриваемых реализаций случайных величин; во-вторых, это может потребовать больше времени для анализа полученных результатов и обоснования влияния отдельных факторов; в-третьих, останется невыявленным, какие именно факторы повлияли на результаты.
Выбор формы распределения случайных величин , на основе которых будет проведена компьютерная имитация их численной реализации. Он осуществляется на основе некоторых представлений о распределениях рассматриваемых показателей. В числе подобных распределений можно отметить: нормальное, логнормальное (чаще используется при моделировании параметров финансовых рынков), треугольное, равномерное и др. Нормальное, треугольное и равномерное распределения являются симметричными, и их использование опирается на предположение о симметричном распределении будущих результатов, хотя и с различной плотностью заполнения. Логнормальное распределение не является симметричным, и его применение опирается на предпосылку о том, что большая часть значений случайной величины сдвинута в определенную сторону относительно ожидаемого значения.
В данной книге при проведении экспериментальных расчетов по методу Монте-Карло при моделировании случайных величин - выбранных параметров денежного потока - используется нормальное распределение .
Имитационное моделирование случайных величин - выбранных параметров денежного потока. Для моделирования численной реализации соответствующей случайной величины используют встроенный генератор псевдослучайных чисел в опции "Анализ данных" меню "Сервис" пакета Microsoft Excel. В этом случае должно быть заранее задано ожидаемое значение рассматриваемого параметра и его стандартное отклонение, а также количество численных реализаций случайных величин, которые должны быть получены в течение одного цикла имитационных расчетов. Для подобных расчетов можно также применять специальные пакеты прикладных программ.
Если моделируется несколько случайных величии одновременно, то необходимо проверить отсутствие корреляции между каждой парой полученных их численных реализаций. Возможности использования при этом критериев проверки статистических гипотез поясним ниже.
Учитывая каждую полученную реализацию рассматриваемой случайной величины, а также параметры денежных потоков, которые предполагаются фиксированными, выполняются расчеты денежных потоков для каждой полученной реализации указанных случайных величин. Количество денежных потоков совпадает с выбранным числом реализаций этих величин. На основе этих денежных потоков происходит формирование распределения чистой настоящей стоимости проекта или других оценочных показателей рассматриваемого проекта в каждом цикле имитационных расчетов.
Определение характеристик распределения чистой настоящей стоимости проекта , полученного в результате одного цикла имитационных расчетов, в том числе ожидаемого значения чистой настоящей стоимости проекта, дисперсии и стандартного отклонения, и других показателей полученного распределения данного показателя. К их числу можно отнести наибольшее и наименьшее значения чистой настоящей стоимости, коэффициент вариации как дополнительную характеристику распределения, вероятность реализации отрицательного значения чистой настоящей стоимости, т.е. невыгодного для инвестора результата исполнения проекта. В последнем случае указанная вероятность определяется как отношение числа отрицательных значений чистой настоящей стоимости в полученном распределении к общему количеству выполненных экспериментов в рамках одного цикла имитационных расчетов:
где k - число отрицательных значений чистой настоящей стоимости в полученной в процессе имитации выборке; т - количество проведенных имитационных экспериментов. Подобная оценка вероятности неблагоприятных исходов опирается на предположение о том, что вероятность каждого исхода в процессе одного цикла имитационного моделирования одинакова и составляет р = 1 /т. Аналогичные расчеты могут быть выполнены и для ставки внутреннего процента, индекса доходности, периода окупаемости.
При проведении расчетов можно использовать встроенные статистические функции пакета Microsoft Excel (табл. 5.12), которые задаются на распределении NPV или с помощью другого расчетного показателя, полученного в результате одного цикла имитационных расчетов.
Таблица 5.12
Используемые встроенные функции пакета Microsoft Excel
Последовательное многократное повторение циклов имитационных расчетов , выполняемых по этапам 4 и 5, предполагающее последовательное формирование распределений значений чистой настоящей стоимости, а также соответствующих им наборов значений оценочных показателей, представленных на этапе 5.
Для проверки устойчивости полученных характеристик распределения чистой настоящей стоимости и повышения качества обоснованности выводов должно быть выполнено нескольких сот или тысяч циклов итерационных расчетов в режиме имитации.
Анализ основных результатов. Результаты применения метода Монте-Карло для анализа и оценки устойчивости проекта к выделенным факторам риска могут быть представлены в двух формах. Прежде всего речь может идти об анализе полученных в результате имитационных расчетов количественных значений показателей, характеризующих параметры полученного распределения чистой настоящей стоимости проекта или других оценочных показателей. К числу таких показателей можно отнести: ожидаемое значение чистой настоящей стоимости; дисперсию, стандартное отклонение и коэффициент вариации как меры риска; наибольшее и наименьшее значения чистой настоящей стоимости по полученной выборке; вероятность получения отрицательного значения чистой настоящей стоимости проекта. В процессе многократного повторения цикла имитационных расчетов можно построить среднее по данной выборке значение для каждого указанного показателя, рассматривая их как определенные ожидаемые характеристики воздействия факторов риска на условия исполнения данного инвестиционного проекта.
Анализ распределения значений указанных показателей, полученных в результате достаточно большого числа итераций, позволяет сделать определенные выводы об относительной устойчивости чистой настоящей стоимости проекта, ожидаемого значения и стандартного отклонения получаемого распределения NPV, вероятности получения отрицательного значения NPV проекта при условии изменения выделенных случайных величин в соответствии с выбранной формой их распределения. Эту устойчивость можно оценить визуально, построив графики выборочных значений указанных показателей, или с помощью соответствующих статистических оценок, определяемых на основе полученной выборки соответствующего показателя. Аналогичный анализ может быть выполнен и в том случае, если используются другие критерии оценки проекта.
Рис. 5.4.
Другой формой результата компьютерной имитации или исследований по методу Монте-Карло могут быть различные графики. Речь идет о частотных гистограммах значений чистой настоящей стоимости, которые формируются в зависимости от частоты попадания имитируемых значений чистой настоящей стоимости в выделенные интервалы или группы ее значений, а также о графиках распределения вероятности отрицательного значения чистой настоящей стоимости или других оценочных показателей .
Общая последовательность расчетов по методу Монте-Карло представлена на рис. 5.4. Соответствующие расчеты могут быть выполнены только на ЭВМ при использовании встроенных возможностей пакета Microsoft Excel или иных пакетов прикладных программ.
Покажем возможности реализации метода Монте-Карло и особенности анализа полученных результатов на основе следующего условного примера. Все исходные данные по рассматриваемому проекту приведены в табл. 5.13.
Таблица 5.13
Исходные данные по проекту
|
Показатель |
||||||
|
Коэффициент использования мощностей, % |
||||||
|
Ожидаемая цена реализации, руб. |
||||||
|
Стандартное отклонение цены реализации, руб. |
||||||
|
Инвестиции, руб. |
||||||
|
Условно-постоянные расходы, руб/год |
||||||
|
Условно-переменные расходы, руб/сд. ирод. |
||||||
|
Стандартное отклонение условно-переменных расходов |
||||||
Выделим параметры и сформируем исходный денежный поток данного инвестиционного проекта. Расчеты компонентов денежного потока выполнены по формулам
где k t - коэффициент использования производственной мощности в году t, M t - производственная мощность предприятия в году t, p t - цена продукции в период t; h f - норма условно-переменных расходов в году t; H f - условно-постоянные расходы в период t,t= 1, 2,..., T; T - период исполнения проекта.
Результаты расчета исходного денежного потока по формулам (5.10) приведены в табл. 5.14.
В данном примере рассматривается компьютерное моделирование двух факторов риска: цены продукции во втором году и условно-переменных расходов в третьем году. Имитационное моделирование осуществляется на основе предположения о нормальном распределении обоих факторов.
Таблица 5.14
Параметры и денежный поток инвестиционного проекта
|
Инвестиции |
Коэффициент использования мощностей, % |
Максимальный объем выпуска, ед. изд. |
Ожидаемая пеалнзанмн. |
постоянные |
Условно- переменные расходы, руб/ед. ирод. |
Денежный |
|||
|
- |
|||||||||
Для цены второго года в качестве ожидаемого или среднего значения выбирается 30 руб. (см. табл. 5.13), а стандартное отклонение полагается равным 2. Для условно-переменных расходов третьего года, соответственно, ожидаемое значение равно 16 руб. (см. табл. 5.13), а стандартное отклонение было выбрано равным 1. Оценка стандартного отклонения может быть получена на основе представлений о возможных интервалах колебаний соответствующего показателя. Так, если ожидаемое колебание цены реализации второго года составляет 6 руб. в обе стороны от ожидаемого значения, то, учитывая, что в условиях нормального распределения практически почти весь интервал составляет ±3а, приблизительная оценка стандартного отклонения в данном случае равна 6/3 = 2 руб. Аналогично могут быть получены и другие значения стандартного отклонения, приведенные в табл. 5.13.
При компьютерном моделировании случайной реализации обоих выбранных показателей были использованы встроенные возможности пакета Microsoft Excel по генерации псевдослучайных величин на основе нормального распределения. Каждый цикл имитационных расчетов включал в себя 100 итераций. Результаты одного цикла расчетов обоих случайных величин приведены в табл. 5.15.
Прежде чем выполнять дальнейшие расчеты, необходимо проверить гипотезу об отсутствии корреляции между обеими случайными величинами, распределения которых приведены в табл. 5.15. Для этого, используя встроенную функцию "КОРРЕЛ" пакета Microsoft Excel, рассчитаем выборочный коэффициент парной корреляции, значение которого составит r ph = -0,10906, т.е. почти равно нулю. Для формальной проверки гипотезы
Таблица 5.15
Имитация распределения случайных величин, руб.
|
І Іомер итерации |
Цена второго года, руб. |
Условно-переменные расходы третьего года, руб/ед. прод. |
|
Среднее значение - 30 |
Среднее значение -16 |
|
|
Стандартное отклонение - 2 |
Стандартное отклонение - 1 |
|
об отсутствии корреляции между рассматриваемыми случайными величинами необходимо построить статистику
где п - объем выборки, т.е. число итераций в одном цикле имитационных расчетов, и сопоставить ее со статистикой t a (n - 2), имеющей распределение Стъюдента сп - 2 степенями свободы и доверительный уровень а. Учитывая указанное значение выборочного коэффициента корреляции и объем выборки п = 100, в данном случае получим:
что по модулю меньше соответствующего табличного значения квантиля распределения Стьюдента с 98 степенями свободы и доверительным уровнем 0,95, которое составляет 1,984. Это позволяет принять гипотезу Н {) с вероятностью ошибки первого рода, равной 0,05.
Используя полученные численные реализации цены второго года и условно-переменных расходов третьего года (см. табл. 5.15), а также заданные значения остальных параметров денежного потока (см. табл. 5.14), формируются денежные потоки инвестиционного проекта, соответствующие полученным значениям цен на каждой итерации. Расчеты выполнены по формулам (5.10). Всего сформировано 100 денежных потоков. Результаты расчетов приведены в табл. 5.16.
Таблица 5.16
|
итерации |
||||||
Используя полученные значения денежных потоков, проведем расчеты чистой настоящей стоимости проекта по формуле
Была использована ставка расчетного процента, равная 12%. Эти расчеты выполнены в пакете Microsoft Excel с помощью встроенной финансовой функции "ЧПС", используемой для вычисления значений чистой настоящей стоимости. Результаты расчетов приведены в табл. 5.17.
Таблица 5.17
Варианты денежного потока рассматриваемого проекта в рамках одного цикла имитационных расчетов, руб.
|
Номер итерации |
Чистая настоящая стоимость |
Номер итерации |
Чистая настоящая стоимость |
Используя полученное распределение значений чистой настоящей стоимости проекта, можно определить основные характеристики, отражающие степень влияния факторов риска на чистую настоящую стоимость этого проекта. Построим частотную гистограмму значений чистой настоящей стоимости. Для этого все полученные на 100 итерациях значения чистой настоящей стоимости проекта подразделим на группы следующим образом. В первую группу включим те значения чистой настоящей стоимости, которые не превосходят -20 000 руб., а далее с шагом 10 000 руб. сформируем еще семь групп значений чистой настоящей стоимости, со 2-й но 8-ю, причем в последнюю группу включим те значения чистой настоящей стоимости, которые превышают 50 000 руб., и определим количество значений чистой настоящей стоимости, попавшей в каждую выделенную группу (табл. 5.18).
Распределение полученных значений чистой настоящей стоимости по группам, которые указаны в табл. 5.18, можно представить на следующей частотной гистограмме (рис. 5.5). Эта гистограмма показывает, что наибольшее количество полученных значений NPV располагается в интервале от -10 000 до 30 000. Она дает также определенное представление о возможных отрицательных значениях чистой настоящей стоимости, которые в данном примере попали в 1 -ю, 2-ю и 3-ю группы. При этом большая часть
Таблица 5.18
Группировка расчетных значений чистой настоящей стоимости
Рис. 55.
расчетных величин NPV рас полагается в области положительных значений. Конкретные значения частот попадания в каждый интервал зависят от полученного распределения выделенных случайных переменных, в нашем примере цен реализации второго года и условно-переменных расходов третьего, которые и рассматриваются как факторы риска. Полученный результат существенно зависит от предположения о нормальном распределении указанных выше факторов.
Метод Монте-Карло позволяет проанализировать влияние факторов риска - выбранных параметров проекта - на изучаемые показатели его оценки. В нашем примере в качестве такого показателя рассматривается чистая настоящая стоимость. Результаты расчетов шести показателей, характеризующих распределения NPV, построенные последовательно на каждом из выполненных 10 циклов имитационных расчетов, приведены в табл. 5.19.
Все они выполнены при одинаковом предположении нормального распределения рассматриваемых случайных переменных и сохранении их характеристик - среднего или ожидаемого значения и стандартного отклонения. В качестве факторов риска в процессе выполненных экспериментальных расчетов в данном примере были выбраны цены второго года и условно-переменные расходы третьего года; для каждого из этих факторов параметры распределения сохранялись одинаковыми во всех 10 циклах имитационных расчетов. В принципе можно проводить имитационные расчеты по методу Монте- Карло с переменным стандартным отклонением. В этом случае большую сложность представляет анализ устойчивости полученных результатов.
Проанализируем подробнее результаты расчетов, которые приведены в табл. 5.19. При этом показатели для 1-го цикла имитационных расчетов были определены на основе распределения NPV, представленного в табл. 5.17.
Таблица 5.19
Характеристики распределений NPV, полученных в режиме имитации, руб.
|
Показатель |
Цикл имитационных расчетов |
||||||||||
|
Ожидаемое значение NPV |
|||||||||||
|
Стандартное отклонение NPV |
|||||||||||
|
Коэффициент вариации |
|||||||||||
|
Вероятность отрицательного значения NPV |
|||||||||||
|
Наибольшее значение NPV |
|||||||||||
|
Наименьшее значение NPV |
|||||||||||
Во-первых, ожидаемое значение NPV во всех 10 циклах имитационных расчетов оказалось положительным, большая часть полученных значений NPV для каждого распределения сдвинута в положительную область.
Во-вторых, стандартное отклонение для каждого распределения NPV, полученного в режиме имитации, больше ожидаемого значения NPV. Указанное соотношение отражает и значение коэффициента вариации, которое больше единицы для всех циклов имитационных расчетов и позволяет сделать вывод о возможности реализации отрицательного значения NPV в процессе исполнения данного проекта.
В-третьих, этот вывод подтверждают полученные оценки вероятности отрицательного значения NPV проекта, которое определяется в соответствии с формулой (5.9) как отношение числа полученных отрицательных значений чистой настоящей стоимости на данном цикле имитационных расчетов к общему числу итераций, которое равно 100. Для всех проведенных циклов имитационных расчетов эта вероятность составляет примерно 30%.
В-четвертых, максимальные и минимальные значения NPV проекта дают представление о возможном интервале колебаний или разброса значений NPV проекта. Указанные данные еще раз подтверждают, что стандартное отклонение характеризует лишь часть интервала колебаний значения чистой настоящей стоимости проекта, определенного в результате имитационных расчетов.
В-пятых, представленные в табл. 5.19 данные позволяют сделать выводы об устойчивости полученных на каждом цикле имитационных расчетов характеристик распределений NPV, что собственно и дает возможность интерпретировать полученные средние оценки эмпирических результатов как соответствующие условиям исполнения проекта. Эту устойчивость можно проверять различными способами.
1. Можно использовать визуальную оценку распределения результатов, представленных в табл. 5.19. Так, на рис. 5.6 приведено распределение вероятности отрицательного значения NPV r полученное в 10 циклах имитационных расчетов.
При анализе графика, приведенного на рис. 5.6, очевидно, что полученный интервал колебаний этой вероятности достаточно узок. Если использовать максимальное и минимальное значения этой вероятности, то можно показать, что отклонения от среднего значения этой вероятности по данной выборке, которое равно 0,31, составляет примерно 13% в обе стороны.
Рис. 5.6. Вероятность отрицательного значения NPV по циклам имитации
Аналогично можно выделить интервал колебания ожидаемого значения чистой настоящей стоимости проекта. Как показывают данные табл. 5.19, во всех циклах имитационных расчетов ожидаемая NPV имела положительное значение, хотя и была подвержена определенным колебаниям. График, приведенный на рис. 5.7, показывает, как возможные тенденции изменения указанного показателя, так и интервал колебаний его значения по выполненным циклам имитационных расчетов.
Рис. 5.7. Ожидаемое значение NPV по циклам имитации
Если учесть, что среднее по выборке значение ожидаемой чистой настоящей стоимости - 6332,38 руб., то можно показать, что интервал колебаний расчетных значений составляет примерно 24% в обе стороны от среднего значения. Полученные оценки весьма зависят от числа выполненных циклов имитационных расчетов и, естественно, будут меняться при проведении последующих циклов. Относительная надежность подобных оценок возрастает по мере роста числа циклов имитационных расчетов и расширения объема выборки, представленной в табл. 5.19. Аналогичный анализ может быть выполнен и для других показателей, определяемых в каждом цикле имитационных расчетов (см. табл. 5.19).
2. При существенном увеличении количества циклов имитационных расчетов и расширении выборки полученных результатов можно использовать формальные критерии проверки гипотез и на их основе формировать выводы об устойчивости полученных результатов и конкретных значений тех или иных расчетных параметров. Проверка статистических гипотез основана на формировании проверочных статистик, которые определяются с учетом выборки рассматриваемого показателя, а также предположения о том, что проверочная статистика имеет заданное распределение. Выше при проверке гипотезы о равенстве нулю коэффициента парной корреляции рассматривалась так называемая простая гипотеза в предположении, что проверочная статистика имела распределение Стъюдента с п - 2 степенями свободы. Особенность проверки статистических гипотез состоит в том, что они принимаются с определенным уровнем доверия. Результаты соответствующего теста могут содержать ошибки первого рода, когда гипотеза отвергается, если она верна, и ошибки второго рода, когда гипотеза принимается в том случае, если она неверна или верна альтернативная гипотеза , т.е. получаемый в процессе подобного тестирования ответ не носит абсолютного характера.
Принятие решения об исполнении или неисполнении инвестиционного проекта на основе данных, полученных по методу Монте-Карло, прежде всего предполагает анализ полученных распределений значений чистой настоящей стоимости проекта, который можно проводить на основе гистограммы, аналогичной показанной на рис. 5.5. Подобная гистограмма может быть также построена для среднего по всем реализациям распределения NPV.
Если все значения распределения NPV на каждом цикле имитационных расчетов оказываются положительными, то проект можно рекомендовать к исполнению, в противном случае, если все значения распределения NPV проекта отрицательны на каждом цикле имитационных расчетов, проект не рекомендуется к исполнению. Во всех других случаях необходимо сопоставлять шансы на получение положительного и отрицательного значений NPV. Для гистограммы, представленной на рис. 5.5, можно отметить, что положительные значения NPV достигаются для групп с 4-й по 8-ю. Учитывая данные табл. 5.18, можно отметить, что по данной выборке 65% значений NPV положительны и только 35% отрицательны. Аналогичный анализ можно выполнить и по среднему значению распределения по всем циклам имитационных расчетов.
В литературе, посвященной проблемам оценки инвестиционных проектов по методу Монте-Карло, предлагается рассчитать еще некоторые показатели по выборке NPV при предположении, что результаты на каждой итерации в течение одного цикла имитационных расчетов имеют одинаковую вероятность р= 1 /п. Именно на основе данного подхода рассчитаны значения ожидаемой NPV в табл. 5.19. Предлагается по такой же схеме определять "ожидаемый выигрыш" по положительным значениям NPV в полученной выборке и "ожидаемый проигрыш" - по отрицательным значениям NPV в этой выборке .
Учитывая, что NPV - это критерий выбора проекта, а не содержательная оценка его полезных результатов, требуется дополнительная содержательная интерпретация указанных показателей "выигрышей" и "проигрышей". Однако в том случае, когда в качестве итогового моделируемого показателя рассматривается доход за определенный период, по полученной в результате имитации выборке можно строить оценки среднего положительного дохода или убытка.
Принятие инвестиционного проекта к исполнению или нет зависит от сформированных в результате имитации распределений значений NPV и полученных характеристик этого распределения. Характеристики распределения NPV (см. табл. 5.19) меняются при каждом цикле имитационных расчетов. Поэтому особое значение приобретает анализ устойчивости установленных путем имитационных расчетов результатов, который позволяет получить дополнительную информацию для принятия решения. Речь идет не столько о том, каковы конкретные значения получаемых результатов, сколько о том, насколько они устойчивы и не будут ли они сильно меняться под фактическим воздействием выделенных факторов риска. Результаты этого анализа носят относительный характер как в случае, когда этот анализ выполняется визуально, так и если говорят об оценке основных критериев проверки статистических гипотез. Поэтому для лица, принимающего решение, существенно, соответствуют ли полученные интервалы колебания характеристик распределения его представлениям о будущих колебаниях соответствующего показателя или удовлетворяет ли его доверительный уровень выполнения соответствующей гипотезы.
Окончательное решение менеджера об исполнении или неисполнении рассматриваемого проекта принимается на основе всей указанной выше информации с учетом его склонности или несклонности к риску, которая находит свое отражение в том, считает ли это лицо для себя возможным реализацию проекта с полученными характеристиками распределения NPV и существуют ли у него те или иные возможности управления рисками данного проекта в том случае, если его развитие пойдет по неблагоприятному пути. Формальные критерии выбора решения на основе информации, получаемой в процессе моделирования по методу Монте-Карло, в настоящее время не разработаны, что относят к одному из основных недостатков данного метода оценки и обоснования инвестиционных проектов в условиях риска.
При использовании метода Монте-Карло следует иметь в виду, что в процессе его реализации речь идет об оценке общей устойчивости проекта к изменению выделенных факторов риска (в нашем примере - цены и условно-переменных расходов). Это связано с тем, что данный метод, как и дискретный анализ чувствительности, основан не на использовании возможных будущих изменений выделенного внешнего фактора риска, например, цен, на соответствующем рынке, а опирается на компьютерную имитацию распределений выделенных факторов риска. Результаты существенно зависят от объема полученной выборки оценочных показателей, при этом их конкретные значения могут существенно изменяться от циклу к циклу имитационных расчетов. В этом также состоят недостатки метода Монте- Карло как имитационного метода анализа риска проектов долгосрочных инвестиций.
Метод Монте-Карло, или метод статистических испытаний, - это численный метод, основанный на моделировании случайных величин и построении статистических оценок для искомых величин.
Суть метода состоит в следующем. Для вычисления площади некоторой фигуры, проведем эксперимент: поместим данную фигуру в квадрат и будем наугад бросать точки в этот квадрат. Естественно предполагать, что чем больше площадь фигуры, тем чаще в нее будут попадать точки. Таким образом, можно сделать допущение: при большом числе точек, наугад выбранных внутри квадрата, доля точек, содержащихся в данной фигуре, приближенно равна отношению площади этой фигуры и площади квадрата.
Такой метод приближенного нахождения площадей фигур и носит название метода Монте-Карло.
Пример. Вычисление числа π методом Монте-Карло.
Постановка задачи: для вычисления числа π методом Монте-Карло рассмотрим круг радиуса 1 с центром в точке (1, 1). Круг вписан в квадрат, сторона которого, а=2. Тогда площадь квадрата S квадрата = a 2 = 2 2 = 4.
Решение.
Выбираем внутри квадрата N случайных точек. Выбрать точку означает задать ее координаты – числа x и y.
Обозначим N круга – число точек попавших при этом внутрь круга.
Точка принадлежит квадрату, если 0≤x≤2 и 0≤y≤2.
Если
(x-1) 2
+(y-1) 2
≤
1, то точка
попадает в круг, иначе она находится
вне круга. Геометрически очевидно, что
Отсюда
То есть для круга
единичного радиуса:
Но для круга
единичного радиуса
,
следовательно получаем:
.
Данная формула дает оценку числа π. Чем больше N, тем больше точность этой оценки. Следует заметить, что данный метод вычисления площади будет справедлив только тогда, когда случайные точки будут не просто случайными, а еще и равномерно разбросанными по всему квадрату.
Для моделирования равномерно распределенных случайных чисел в интервале от 0 до 1 в языке программирования Turbo Pascal используется датчик случайных чисел – функция RANDOM, которая выдает последовательность случайных величин, равномерно распределенных от 0 до 1.
Таким образом, суть компьютерного эксперимента заключается в обращении к функции RANDOM для получения N раз координат х и у точки. При этом определяется, попала ли точка с координатами (х ,у ) в круг единичного радиуса. В случае попадания значение величины N круга увеличивается на 1.
Программа:
Program monte_karlo;
var i, n, n1: LongInt; x, y, pi: real; begin Randomize;
WriteLn("Введите количество точек n=");
Readln(n); for i:=1 to n do begin x:=2*Random; y:=2*Random; if sqr(x-1)+sqr(y-1)<=1 then n1:=n1+1; end; pi:=4*n1/n; WriteLn("pi=", pi:15:11); end.
методом Монте – Карло
1. Предмет метода Монте-Карло
Датой рождения метода Монте – Карло принято считать 1949 год, когда учёные Н. Метрополис и С.Улам опубликовали статью под названием «Метод Монте – Карло», в которой изложили суть своего метода. Название метода связано с названием города Монте – Карло, где в игорных домах (казино) играют в рулетку, которая является одним из простейших устройств для получения, так называемых, «случайных чисел », на использование которых основан данный метод.
ЭВМ позволяют легко получать, так называемые, «псевдослучайные числа » (при решении задач их часто применяют вместо случайных чисел). Это привело к широкому внедрению метода во многие области науки и техники (статистическая физика, теория массового обслуживания, теория игр и др.). Метод Монте – Карло используют для вычисления интегралов, в особенности многомерных, для решения систем алгебраических уравнений высокого порядка, для исследования различного рода сложных систем (автоматического управления, экономических, биологических и т.д.).
Сущность метода Монте – Карло
состоит
в следующем:требуется найти значение
числа
некоторой изучаемой величины. Для этого
выбирают такую случайную величину
,
математическое ожидание которой равно
:
,
т.е. решит указанное функциональное
уравнение. Эта задача в общем случае
весьма сложная и трудная.
Практически же поступают так: производят
испытаний, в результате которых получают
возможных значений
;
вычисляют их среднее арифметическое
и принимают
в качестве оценки (приближённого
значения)
искомого
числа
:
Поскольку метод Монте – Карло требует
проведения большого числа испытаний,
его часто называют методом статистических
испытаний
. Теория этого метода
указывает, как наиболее целесообразно
выбрать случайную величину
,
как найти её возможные значения. В
частности, разрабатываются способы
уменьшения дисперсии используемых
случайных величин, в результате чего
уменьшается ошибка, допускаемая при
замене искомого математического ожидания
числа
его
оценкой
.
Отыскание возможных значений случайной
величины
(моделирования)
называют «разыгрыванием случайно
величины
». Здесь мы изложим лишь
некоторые способы разыгрывания с.в.
и укажем, как оценить допускаемую при
этом ошибку.
2. Случайные числа, оценка погрешности метода Монте – Карло.
Как уже отметили, метод Монте – Карло
основан на применении случайных чисел;
приведём определение этих чисел.
Обозначим через
н.с.в., распределённую равномерно в
интервале
.
Случайными числами
называют
возможные значения непрерывной случайной
величины
,
распределённой равномерно в интервале
.
В действительности пользуются неравномерно
распределённой с.в.
,
возможные значения которой, вообще
говоря, имеют бесконечное число десятичных
знаков, аквазиравномерной случайно
величиной
,
возможное значение которой имеют
конечное число знаков. В результате
замены
на
разыгрываемая величина имеет не точно,
а приближённо заданное распределение.
В конце книги приведена таблица случайных чисел, заимствованную из книги (Большев Л.Н….»Таблицы математической статистики. Наука, 1965г.).
Пусть для получения оценки
математического ожидания числа
случайной величины
было
произведено
независимых испытаний (разыграно
возможных значений) и по ним была найдена
выборочная средняя
,
которая принята в качестве искомой
оценки
.
Ясно, что, если повторить опыт, то будут
получены другие возможные значения
.
Следовательно, другая средняя и другая
оценка числа
.
Уже отсюда следует, что получит в общем
случае точную оценку МО невозможно.
Естественно, возникает вопрос о величине
допускаемой ошибки. Ограничимся здесь
отысканием лишь верхней границы
допускаемой ошибки с заданной вероятностью
(надёжностью)
Интересующая нас верхняя граница ошибки
есть не что иное, как «точность оценки
»
математического ожидания по выборочной
средней при помощи доверительных
интервалов уже шла речь в разделе
дополнение1, тема 21. В связи с этим
воспользуемся полученные ранее
Математические предпосылки создания имитационной модели
Модели и их роль в изучении процессов функционирования сложных систем
В узком смысле под моделью понимается образ, описание, представление, изображение какого-либо объекта или системы объектов (оригинала), используемое при определенных условиях в качестве заменителя его или представителя. Модель является представителем объекта, системы или понятия (идеи) в некоторой форме, отличной от формы их реального существования. Модель служит обычно средством, помогающим нам в объяснении, понимании или совершенствовании системы. Модель какого-либо объекта может быть или точной копией этого объекта (хотя и выполненной из другого материала и в другом масштабе), или отображать некоторые характерные свойства объекта в абстрактной форме.
Изучение объектов познания с помощью моделей является процессом моделирования.
Особенности целенаправленной переработки информации и повышения уровня организации в современных условиях научно-технической революции обусловили становление и развитие моделей нового типа, которые охватывают не только важнейшие параметры объекта исследования, но, и включают главные моменты деятельности исследователя. К этой группе моделей относятся: имитационные, ситуационные, эволюционные, модели катастроф, отражающие особый тип изменений.
Статистические испытания по методу Монте-Карло представляют собой простейшее имитационное моделирование при полном отсутствии каких-либо правил поведения. Получение выборок по методу Монте-Карло - основной принцип компьютерного моделирования систем, содержащих стохастические или вероятностные элементы. Зарождение метода связано с работой фон Неймана и Улана в конце 1940-х гг., когда они ввели для-него название..«Монте-Карло» и применили его к решению некоторых задач экранирования ядерных излучений. Этот математический метод был известен и ранее, но свое второе рождение нашел в Лос-Аламосе в закрытых работах по ядерной технике, которые велись под кодовым обозначением «Монте-Карло». Применение метода оказалось настолько успешным, что он получил распространение и в других областях, в частности в экономике.
Однако, имитационное моделирование - это более широкое понятие, и метод Монте-Карло является важным, но далеко не единственным методическим компонентом имитационного моделирования.
Метод Монте-Карло основан на статистических испытаниях и по природе своей является экстремальным, может применяться для решения полностью детерминированных задач, таких, как обращение матриц, решение дифференциальных уравнений в частных производных, отыскание экстремумов и численное интегрирование. При вычислениях методом Монте-Карло статистические результаты получаются путем повторяющихся испытаний. Вероятность того, что эти результаты отличаются от истинных не более чем на заданную величину, есть функция количества испытаний.
В основе вычислений по методу Монте-Карло лежит случайный выбор чисел из заданного вероятностного распределения. При практических вычислениях эти числа берут из таблиц или получают путем некоторых операций, результатами которых являются псевдослучайные числа с теми же свойствами, что и числа, получаемые путем случайной выборки. Имеется большое число вычислительных алгоритмов, которые позволяют получить длинные последовательности псевдослучайных чисел.
Метод заключается в следующем: если r i = 0,0040353607, то r i+1 = {40353607r i }}mod 1, где mod 1 означает операцию извлечения из результата только дробной части после десятичной точки. Как описано в различных литературных источниках, числа r i начинают повторяться после цикла из 50 миллионов чисел, так что r 50000001 = r 1 , Последовательность r i получается равномерно распределенной на интервале (0,1). Ниже будут рассмотрены более точные способы получения таких чисел со значительно большими периодами, а также пояснения, как в реальных моделях такие числа становятся практически случайными.
Применение метода Монте-Карло может дать существенный эффект при моделировании развития процессов, натурное наблюдение которых нежелательно или невозможно, а другие математические методы применительно к этим процессам либо не разработаны, либо неприемлемы из-за многочисленных оговорок и допущений, которые могут привести к серьезным погрешностям или неправильным выводам. В связи с этим необходимо не только наблюдать развитие процесса в нежелательных направлениях, но и оценивать гипотезы о параметрах нежелательных ситуаций, к которым приведет такое развитие, в том числе и параметрах рисков.
Энциклопедичный YouTube
1 / 5
✪ RuleOfThumb - Метод Монте-Карло
✪ Дмитрий Казаков - Кварки
✪ [Коллоквиум]: Блеск и нищета математических методов в прикладных исследованиях
✪ Лекция 1: Погрешности вычислений
✪ Елена Браун - Миф о Ричарде lll
Субтитры
История
Алгоритм Бюффона для определения числа Пи
| Число бросаний | Число пересечений | Длина иглы | Расстояние между прямыми | Вращение | Значение Пи | Ошибка | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Первая попытка | 500 | 236 | 3 | 4 | отсутствует | 3.1780 | +3,6⋅10 -2 |
| Вторая попытка | 530 | 253 | 3 | 4 | присутствует | 3.1423 | +7,0⋅10 -4 |
| Третья попытка | 590 | 939 | 5 | 2 | присутствует | 3.1416 | +4,7⋅10 -5 |
Комментарии:
Связь стохастических процессов и дифференциальных уравнений
Создание математического аппарата стохастических методов началось в конце XIX века. В 1899 году лорд Релей показал, что одномерное случайное блуждание на бесконечной решётке может давать приближенное решение одного из видов параболического дифференциального уравнения . Андрей Николаевич Колмогоров в 1931 году дал большой толчок развитию стохастических подходов к решению различных математических задач, поскольку он сумел доказать, что цепи Маркова связаны с некоторыми интегро-дифференциальными уравнениями . В 1933 году Иван Георгиевич Петровский показал, что случайное блуждание , образующее Марковскую цепь , асимптотически связано с решением эллиптического дифференциального уравнения в частных производных . После этих открытий стало понятно, что стохастические процессы можно описывать дифференциальными уравнениями и, соответственно, исследовать при помощи хорошо на тот момент разработанных математических методов решения этих уравнений.
Рождение метода Монте-Карло в Лос-Аламосе
Идея была развита Уламом, который, раскладывая пасьянсы во время выздоровления после болезни, задался вопросом, какова вероятность того, что пасьянс сложится. Вместо того, чтобы использовать обычные для подобных задач соображения комбинаторики , Улам предположил, что можно просто поставить эксперимент большое число раз и, подсчитав число удачных исходов, оценить вероятность. Он же предложил использовать компьютеры для расчётов методом Монте-Карло.
Появление первых электронных компьютеров , которые могли с большой скоростью генерировать псевдослучайные числа , резко расширило круг задач, для решения которых стохастический подход оказался более эффективным, чем другие математические методы. После этого произошёл большой прорыв, и метод Монте-Карло применялся во многих задачах, однако его использование не всегда было оправдано из-за большого количества вычислений, необходимых для получения ответа с заданной точностью.
Годом рождения метода Монте-Карло считается 1949 год , когда в свет выходит статья Метрополиса и Улама «Метод Монте-Карло». Название метода происходит от названия коммуны в княжестве Монако , широко известного своими многочисленными казино , поскольку именно рулетка является одним из самых широко известных генераторов случайных чисел . Станислав Улам пишет в своей автобиографии «Приключения математика», что название было предложено Николасом Метрополисом в честь его дяди, который был азартным игроком.
Дальнейшее развитие и современность
Интегрирование методом Монте-Карло
Предположим, необходимо взять интеграл от некоторой функции. Воспользуемся неформальным геометрическим описанием интеграла и будем понимать его как площадь под графиком этой функции.
Для определения этой площади можно воспользоваться одним из обычных численных методов интегрирования : разбить отрезок на подотрезки, подсчитать площадь под графиком функции на каждом из них и сложить. Предположим, что для функции, представленной на рисунке 2, достаточно разбиения на 25 отрезков и, следовательно, вычисления 25 значений функции. Представим теперь, мы имеем дело с n {\displaystyle n} -мерной функцией. Тогда нам необходимо 25 n {\displaystyle 25^{n}} отрезков и столько же вычислений значения функции. При размерности функции больше 10 задача становится огромной. Поскольку пространства большой размерности встречаются, в частности, в задачах теории струн , а также многих других физических задачах, где имеются системы со многими степенями свободы, необходимо иметь метод решения, вычислительная сложность которого бы не столь сильно зависела от размерности. Именно таким свойством обладает метод Монте-Карло.
Обычный алгоритм Монте-Карло интегрирования
Предположим, требуется вычислить определённый интеграл ∫ a b f (x) d x {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx}
Рассмотрим случайную величину
u
{\displaystyle u}
, равномерно распределённую на отрезке интегрирования . Тогда также будет случайной величиной, причём её математическое ожидание выражается как
E
f
(u)
=
∫
a
b
f
(x)
φ
(x)
d
x
{\displaystyle \mathbb {E} f(u)=\int \limits _{a}^{b}f(x)\varphi (x)\,dx}
, где
φ
(x)
{\displaystyle \varphi (x)}
- плотность распределения случайной величины
u
{\displaystyle u}
, равная
1
b
−
a
{\displaystyle {\frac {1}{b-a}}}
на участке
[
a
,
b
]
{\displaystyle }
.
Таким образом, искомый интеграл выражается как
∫
a
b
f
(x)
d
x
=
(b
−
a)
E
f
(u)
{\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx=(b-a)\mathbb {E} f(u)}
.
Но математическое ожидание случайной величины f (u) {\displaystyle f(u)} можно легко оценить, смоделировав эту случайную величину и посчитав выборочное среднее.
Итак, бросаем N {\displaystyle N} точек, равномерно распределённых на [ a , b ] {\displaystyle } , для каждой точки u i {\displaystyle u_{i}} вычисляем f (u i) {\displaystyle f(u_{i})} . Затем вычисляем выборочное среднее: 1 N ∑ i = 1 N f (u i) {\displaystyle {\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}f(u_{i})} .
В итоге получаем оценку интеграла: ∫ a b f (x) d x ≈ b − a N ∑ i = 1 N f (u i) {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\frac {b-a}{N}}\sum _{i=1}^{N}f(u_{i})}
Точность оценки зависит только от количества точек N {\displaystyle N} .
Этот метод имеет и геометрическую интерпретацию. Он очень похож на описанный выше детерминистический метод, с той разницей, что вместо равномерного разделения области интегрирования на маленькие интервалы и суммирования площадей получившихся «столбиков» мы забрасываем область интегрирования случайными точками, на каждой из которых строим такой же «столбик», определяя его ширину как b − a N {\displaystyle {\frac {b-a}{N}}} , и суммируем их площади.
Геометрический алгоритм Монте-Карло интегрирования
Для определения площади под графиком функции можно использовать следующий стохастический алгоритм:
Для малого числа измерений интегрируемой функции производительность Монте-Карло интегрирования гораздо ниже, чем производительность детерминированных методов. Тем не менее, в некоторых случаях, когда функция задана неявно, а необходимо определить область, заданную в виде сложных неравенств, стохастический метод может оказаться более предпочтительным.
Использование выборки по значимости
При том же количестве случайных точек, точность вычислений можно увеличить, приблизив область, ограничивающую искомую функцию, к самой функции. Для этого необходимо использовать случайные величины с распределением, форма которого максимально близка к форме интегрируемой функции. На этом основан один из методов улучшения сходимости в вычислениях методом Монте-Карло: выборка по значимости .
Оптимизация
Различные вариации метода Монте-Карло можно использовать для решения задач оптимизации. Например, алгоритм имитации отжига .
Применение в физике
Компьютерное моделирование играет в современной физике важную роль и метод Монте-Карло является одним из самых распространённых во многих областях от квантовой физики до физики твёрдого тела, физики плазмы и астрофизики.
Алгоритм Метрополиса
Традиционно метод Монте-Карло применялся для определения различных физических параметров систем, находящихся в состоянии термодинамического равновесия. Предположим, что имеется набор возможных состояний физической системы S {\displaystyle S} . Для определения среднего значения A ¯ {\displaystyle {\overline {A}}} некоторой величины A {\displaystyle A} необходимо рассчитать A ¯ = ∑ S A (S) P (S) {\displaystyle {\overline {A}}=\sum _{S}A(S)P(S)} , где суммирование производится по всем состояниям S {\displaystyle S} из W (S) {\displaystyle W(S)} , P (S) {\displaystyle P(S)} - вероятность состояния S {\displaystyle S} .
Динамическая (кинетическая) формулировка
Прямое моделирование методом Монте-Карло
Прямое моделирование методом Монте-Карло какого-либо физического процесса подразумевает моделирование поведения отдельных элементарных частей физической системы. По сути это прямое моделирование близко к решению задачи из первых принципов , однако обычно для ускорения расчётов допускается применение каких-либо физических приближений. Примером могут служить расчёты различных процессов методом молекулярной динамики : с одной стороны система описывается через поведение её элементарных составных частей, с другой стороны, используемый потенциал взаимодействия зачастую является эмпирическим .
Примеры прямого моделирования методом Монте-Карло:
- Моделирование облучения твёрдых тел ионами в приближении бинарных столкновений.
- Прямое Монте-Карло моделирование разреженных газов.
- Большинство кинетических Монте-Карло моделей относятся к числу прямых (в частности, исследование молекулярно-пучковой эпитаксии).
Квантовый метод Монте-Карло
Квантовый метод Монте-Карло широко применяется для исследования сложных молекул и твёрдых тел. Это название объединяет несколько разных методов. Первый из них это вариационный метод Монте-Карло, который по сути является численным интегрированием многомерных интегралов, возникающих при решении уравнения Шрёдингера . Для решения задачи, в которой участвует 1000 электронов, необходимо взятие 3000-мерных интегралов, и при решении таких задач метод Монте-Карло имеет огромное преимущество в производительности по сравнению с другими численными методами интегрирования . Другая разновидность метода Монте-Карло - это диффузионный метод Монте-Карло.
