При сложении десятичных дробей надо записать их одну под другой так, чтобы одинаковые разряды были друг под другом, а запятая - под запятой, и сложить дроби так, как складывают натуральные числа. Сложим, напрнмер, дроби 12,7 и 3,442. Первая дробь содержит одну цифру после запятой, а вторая - три. Чтобы выполнить сложение, преобразуем первую дробь так, чтобы после запятой было три цифры: , тогда
Аналогично выполняется вычитание десятичных дробей. Найдем разность чисел 13,1 и 0,37:
При умножении десятичных дробей достаточно перемножить заданные числа, не обращая внимания на запятые (как натуральные числа), а затем в результате справа отделить запятой столько цифр, сколько их стоит после запятой в обоих множителях суммарно.
Например, умножим 2,7 на 1,3. Имеем . Запятой отделим справа две цифры (сумма цифр у множителей после запятой равна двум). В итоге получаем 2,7 1,3=3,51.
Если в произведении получается меньше цифр, чем надо отделить запятой, то впереди пишут недостающие нули, например:
Рассмотрим умножение десятичной дроби на 10, 100, 1000 и т. д. Пусть нужно умножить дробь 12,733 на 10. Имеем . Отделив справа запятой три цифры, получим Но . Значит,
12 733 10=127,33. Таким образом, умножение десятичной дроби на Ю сводится к переносу запятой на одну цифру вправо.
Вообще чтобы умножить десятичную дробь на 10, 100, 1000, надо в этой дроби перенести запятую на 1, 2, 3 цифры вправо Сприписав в случае необходимости к дроби справа определенное число нулей). Например,
Деление десятичной дроби на натуральное число выполняется так же, как деление натурального числа на натуральное, а запятую в частном ставят после того, как закончено деление целой части. Пусть надо разделить 22,1 на 13:
Если целая часть делимого меньше делителя, то в ответе получается нуль целых, например:
Рассмотрим теперь деление десятичной дроби на десятичную. Пусть нужно разделить 2,576 на 1,12. Для этого и в делимом, и в делителе перенесем запятую вправо на столько цифр, сколько их имеется после запятой в делителе (в данном примере на две). Иными словами, умножим делимое и делитель на 100 - от этого частное не изменится. Тогда нужно разделить дробь 257,6 на натуральное число 112, т. е. задача сводится к уже рассмотренному случаю:
Чтобы разделить десятичную дробь на надо в этой дроби перенести запятую на цифр влево (при этом в случае необходимости слева приписывается нужное число нулей). Например, .
Как для натуральных чисел деление не всегда выполнимо, так оно не всегда выполнимо и для десятичных дробей. Разделим для примера 2,8 на 0,09:
В результате получается так называемая бесконечная десятичная дробь. В таких случаях переходят к обыкновенным дробям. Например:
Может оказаться так, что одни числа записаны в виде обыкновенных дробей, другие - в виде смешанных чисел, третьи - в виде десятичных дробей. При выполнении действий над такими числами можно поступать по-разному: либо обратить десятичные дроби в обыкновенные и применить правила действий над обыкновенными дробями, либо обратить обыкновенные дроби и смешанные числа в десятичные дроби (если это возможно) и применить правила действий над десятичными дробями.
Пример:
Запятая в десятичной дроби отделяет:
1) целую часть от дробной;
2) столько знаков, сколько нулей в знаменателе обыкновенной дроби.
Как перевести десятичную дробь в обыкновенную?
Например, \(0,35\) читается как «ноль целых, тридцать пять сотых». Так и пишем: \(0 \frac{35}{100}\). Целая часть равна нулю, то есть ее можно просто не писать, а дробную часть – сократить на \(5\).
Получим: \(0,35=0\frac{35}{100}=\frac{35}{100}=\frac{7}{20}\).
Еще примеры: \(2,14=2\frac{14}{100}=\frac{214}{100}=\frac{107}{50}\);
\(7,026=7\frac{26}{1000}=\frac{7026}{1000}\).
Этот переход можно делать и быстрее:
Запишите в числитель все число без запятой, а в знаменатель – единицу и столько нулей, столько цифр было отделено запятой.
Звучит сложно, поэтому смотрите картинку:
Как обыкновенную дробь перевести в десятичную?
Для этого надо домножить числитель и знаменатель дроби на такое число, чтобы в знаменателе получилось \(10\), \(100\), \(1000\) и т.д., а потом записать результат в десятичном виде.
Примеры: \(\frac{3}{5}\) \(=\)\(\frac{3\cdot 2}{5\cdot 2}\) \(=\)\(\frac{6}{10}\) \(=0,6\); \(\frac{63}{25}\) \(=\frac{63 \cdot 4}{25\cdot 4}\) \(=\)\(\frac{252}{100}\) \(=2,52\); \(\frac{7}{200}\) \(=\)\(\frac{7 \cdot 5}{200\cdot 5}\) \(=\)\(\frac{35}{1000}\) \(=0,035\).
Этот способ хорошо работает, когда в знаменателе дроби: \(2\), \(5\), \(20\), \(25\)… и т.д., то есть когда сразу понятно, на что надо домножать. Однако в остальных случаях:
Для превращения обыкновенной дроби в десятичную нужно поделить числитель дроби на ее знаменатель.
Например , дробь \(\frac{7}{8}\) проще преобразовать делением \(7\) на \(8\), чем догадываться, что \(8\) можно домножить на \(125\) и получить \(1000\).
Далеко не все обыкновенные дроби без проблем превращаются в десятичные. Точнее, превращаются-то все, но вот записать результат такого превращения бывает весьма трудно. Например, дробь \(\frac{9}{17}\) в десятичном виде будет выглядеть как \(0,52941…\) - и так далее, бесконечный ряд неповторяющихся цифр. Такие дроби обычно оставляют в виде обыкновенных.
Однако некоторые дроби, дающие бесконечный ряд цифр в десятичном виде записаны быть могут. Так происходит в случае, если цифры в этом ряду повторяются. Например, дробь \(\frac{2}{3}\) в десятичном виде выглядит так \(0,66666…\) - бесконечный ряд шестерок. Ее записывают вот так: \(0,(6)\). Содержимое скобки – это как раз и есть бесконечно повторяющаяся часть (так называемый период дроби).
Еще примеры: \(\frac{100}{27}\)
\(=\)\(3,7037037037…=3,(703)\).
\(\frac{579}{110}\)
\(=5,2636363636…=5,2(63)\).
Виды десятичных дробей:
Сложение и вычитание десятичных дробей
Сложение (вычитание) десятичных дробей выполняется так же, как сложение (вычитание) : главное, чтобы запятая во втором числе стояла под запятой в первом.
Умножение десятичных дробей
Чтобы перемножить две десятичные дроби, нужно перемножить их как обычные числа, не обращая внимания на запятые. Потом сложить количество знаков после запятой в первом числе и во втором, а затем отделить полученное количество знаков в итоговом числе, считая справа налево.
Лучше \(1\) раз посмотреть на картинку, чем \(10\) раз прочитать, поэтому наслаждайтесь:
Деление десятичных дробей
Чтобы разделить десятичную дробь на десятичную дробь, надо перенести запятую во втором числе (делителе) до тех пор, пока оно не станет целым. Потом на столько же перенести запятую в первом числе (делимом). Затем нужно разделить получившиеся числа как обычно. При этом в ответе нужно будет не забыть поставить запятую сразу же, как мы «перейдем за запятую» в делимом.
Снова картинка объяснит принцип лучше любого текста.
На практике бывает легче представлять деление как обыкновенную дробь, потом домножением числителя и знаменателя убирать запятые (или просто сразу передвигать запятые, как делали выше), а затем сокращать получившиеся числа.
\(13,12:1,6=\)\(\frac{13,12}{1,6}\) \(=\)\(\frac{13,12·100}{1,6·100}\) \(=\)\(\frac{1312}{160}\) \(=\)\(\frac{328}{40}\) \(=\)\(\frac{82}{10}\) \(=8,2\).
Пример . Вычислите \(0,0625:(\)\(\frac{1}{8}\) \(+\)\(\frac{5}{16}\) \()\cdot 2,8\).
Решение :
|
\(0,0625:(\)\(\frac{1}{8}\)
\(+\)\(\frac{5}{16}\)
\()\cdot 2,8=\) |
Чтобы рациональное число m/n записать в виде десятичной дроби, нужно числитель разделить на знаменатель. При этом частное записывается конечной или бесконечной десятичной дробью.
Записать данное число в виде десятичной дроби.
Решение. Разделим в столбик числитель каждой дроби на ее знаменатель: а) делим 6 на 25; б) делим 2 на 3; в) делим 1 на 2, а затем получившуюся дробь припишем к единице — целой части данного смешанного числа.
Несократимые обыкновенные дроби, знаменатели которых не содержат других простых делителей, кроме 2 и 5 , записываются конечной десятичной дробью.
В примере 1 в случае а) знаменатель 25=5·5; в случае в) знаменатель равен 2, поэтому, мы получили конечные десятичные дроби 0,24 и 1,5 . В случае б) знаменатель равен 3, поэтому результат нельзя записать в виде конечной десятичной дроби.
А можно ли без деления в столбик обратить в десятичную дробь такую обыкновенную дробь, знаменатель которой не содержит других делителей, кроме 2 и 5? Разберемся! Какую дробь называют десятичной и записывают без дробной черты? Ответ: дробь со знаменателем 10; 100; 1000 и т.д. А каждое из этих чисел — это произведение равного количества «двоек» и «пятерок». На самом деле: 10=2 ·5 ; 100=2 ·5 ·2 ·5 ; 1000=2 ·5 ·2 ·5 ·2 ·5 и т.д.
Следовательно, знаменатель несократимой обыкновенной дроби нужно будет представить в виде произведения «двоек» и «пятерок», а затем домножить на 2 и (или) на 5 так, чтобы «двоек» и «пятерок» стало поровну. Тогда знаменатель дроби будет равен 10 или 100 или 1000 и т.д. Чтобы значение дроби не изменилось — числитель дроби умножим на то же число, на которое умножили знаменатель.
Представить в виде десятичной дроби следующие обыкновенные дроби:
Решение. Каждая из данных дробей является несократимой. Разложим знаменатель каждой дроби на простые множители.
20=2·2·5. Вывод: не хватает одной «пятерки».
8=2·2·2. Вывод: не хватает трех «пятерок».
25=5·5. Вывод: не хватает двух «двоек».
Замечание. На практике чаще не используют разложение знаменателя на множители, а просто задаются вопросом: на сколько нужно умножить знаменатель, чтобы в результате получилась единица с нулями (10 или 100 или 1000 и т.д.). А затем на это же число умножают и числитель.
Так, в случае а) (пример 2 ) из числа 20 можно получить 100 умножением на 5, поэтому, на 5 нужно умножить числитель и знаменатель.
В случае б) (пример 2 ) из числа 8 число 100 не получится, но получится число 1000 умножением на 125. На 125 умножается и числитель (3) и знаменатель (8) дроби.
В случае в) (пример 2 ) из 25 получится 100, если умножить на 4. Значит, и числитель 8 нужно умножить на 4.
Бесконечная десятичная дробь, у которой одна или несколько цифр неизменно повторяются в одной и той же последовательности, называется периодической десятичной дробью. Совокупность повторяющихся цифр называется периодом этой дроби. Для краткости период дроби записывают один раз, заключая его в круглые скобки.
В случае б) (пример 1 ) повторяющаяся цифра одна и равна 6. Поэтому, наш результат 0,66... запишется так: 0,(6) . Читают: нуль целых, шесть в периоде.
Если между запятой и первым периодом есть одна или несколько не повторяющихся цифр, то такая периодическая дробь называется смешанной периодической дробью.
Несократимая обыкновенная дробь, знаменатель которой вместе с другими множителями содержит множитель 2 или 5 , обращается в смешанную периодическую дробь.
Записать в виде десятичной дроби числа:
Любое рациональное число можно записать в виде бесконечной периодической десятичной дроби.
Записать в виде бесконечной периодической дроби числа.
Мы уже говорили, что дроби бывают обыкновенные и десятичные . На данный момент мы немного изучили обыкновенные дроби. Мы узнали, что обыкновенные дроби бывают правильные и неправильные. Также мы узнали, что обыкновенные дроби можно сокращать, складывать, вычитать умножать и делить. И ещё мы узнали, что бывают так называемые смешанные числа, которые состоят из целой и дробной части.
Мы ещё не до конца изучили обыкновенные дроби. Есть немало тонкостей и деталей, о которых следует поговорить, но уже сегодня мы начнём изучать десятичные дроби, поскольку обыкновенные и десятичные дроби достаточно часто приходиться сочетать. То есть, при решении задач приходиться применять оба вида дробей.
Этот урок возможно покажется сложным и непонятным. Это вполне нормально. Такого рода уроки требуют, чтобы их именно изучали, а не просматривали поверхностно.
Содержание урокаВыражение величин в дробном виде
Иногда удобно бывает показать что-либо в дробном виде. Например, одна десятая часть дециметра записывается так:
Это выражение означает, что один дециметр был поделен на десять частей, и от этих десяти частей была взята одна часть:
Как видно на рисунке, одна десятая часть дециметра это один сантиметр.
Рассмотрим следующий пример. Показать 6 см и ещё 3 мм в сантиметрах в дробном виде.
Итак, требуется выразить 6 см и 3 мм в сантиметрах, но в дробном виде. 6 целых сантиметров у нас уже есть:
но осталось еще 3 миллиметра. Как показать эти 3 миллиметра, при этом в сантиметрах? На помощь приходят дроби. 3 миллиметра это третья часть сантиметра. А третья часть сантиметра записывается как см
Дробь означает, что один сантиметр был разделен на десять равных частей, и от этих десяти частей взяли три части (три из десяти).
В результате имеем шесть целых сантиметров и три десятых сантиметра:
При этом 6 показывает число целых сантиметров, а дробь — число дробных сантиметров. Эта дробь читается как «шесть целых и три десятых сантиметра» .
Дроби, в знаменателе которых присутствуют числа 10, 100, 1000 можно записывать без знаменателя. Сначала пишут целую часть, а потом числитель дробной части. Целая часть отделяется от числителя дробной части запятой.
Например, запишем без знаменателя. Для этого сначала запишем целую часть. Целая часть это число 6. Записываем сначала это число:
Целая часть записана. Сразу же после написания целой части ставим запятую:
И теперь записываем числитель дробной части. В смешанном числе числитель дробной части это число 3. Записываем после запятой тройку:
Любое число, которое представляется в таком виде, называется десятичной дробью .
Поэтому показать 6 см и ещё 3 мм в сантиметрах можно с помощью десятичной дроби:
6,3 см
Выглядеть это будет следующим образом:
На самом деле десятичные дроби это те же самые обыкновенные дроби и смешанные числа. Особенность таких дробей заключается в том, что в знаменателе их дробной части стоят числа 10, 100, 1000 или 10000.
Как и смешанное число, десятичная дробь имеет целую часть и дробную. Например, в смешанном числе целая часть это 6, а дробная часть это .
В десятичной дроби 6,3 целая часть это число 6, а дробная часть это числитель дроби , то есть число 3.
Бывает и так, что обыкновенные дроби в знаменателе которых числа 10, 100, 1000 даны без целой части. Например, дробь дана без целой части. Чтобы записать такую дробь как десятичную, сначала записывают 0, затем ставят запятую и записывают числитель дробной части. Дробь без знаменателя будет записана следующим образом:
Читается как «ноль целых, пять десятых» .
Перевод смешанных чисел в десятичные дроби
Когда мы записываем смешанные числа без знаменателя, мы тем самым переводим их в десятичные дроби. При переводе обыкновенных дробей в десятичные дроби нужно знать несколько моментов, о которых мы сейчас поговорим.
После того, как записана целая часть, обязательно нужно посчитать количество нулей в знаменателе дробной части, поскольку количество нулей дробной части и количество цифр после запятой в десятичной дроби должно быть одинаковым. Что это значит? Рассмотрим следующий пример:
Сначала
И можно бы сразу записать числитель дробной части и десятичная дробь готова, но обязательно нужно посчитать количество нулей в знаменателе дробной части.
Итак, считаем количество нулей в дробной части смешанного числа . В знаменателе дробной части один ноль. Значит в десятичной дроби после запятой будет одна цифра и это цифра будет числитель дробной части смешанного числа , то есть число 2
Таким образом, смешанное число при переводе в десятичную дробь обращается в 3,2.
Эта десятичная дробь читается так:
«Три целых, две десятых»
«Десятых» потому что в дробной части смешанного числа находится число 10.
Пример 2. Перевести смешанное число в десятичную дробь.
Записываем целую часть и ставим запятую:
И можно бы сразу записать числитель дробной части и получить десятичную дробь 5,3 но правило говорит, что после запятой должно быть столько цифр сколько нулей в знаменателе дробной части смешанного числа . А мы видим, что в знаменателе дробной части два нуля. Значит в нашей десятичной дроби после запятой должно быть две цифры, а не одна.
В таких случаях числитель дробной части нужно немного видоизменить: добавить ноль перед числителем, то есть перед числом 3
Теперь можно перевести это смешанное число в десятичную дробь. Записываем целую часть и ставим запятую:
И записываем числитель дробной части:
Десятичная дробь 5,03 читается так:
«Пять целых, три сотых»
«Сотых» потому что в знаменателе дробной части смешанного числа находится число 100.
Пример 3. Перевести смешанное число в десятичную дробь.
Из предыдущих примеров мы узнали, что для успешного перевода смешанного числа в десятичную дробь, количество цифр в числителе дробной части и количество нулей в знаменателе дробной части должно быть одинаковым.
Перед переводом смешанного числа в десятичную дробь, его дробную часть нужно немного видоизменить, а именно сделать так, чтобы количество цифр в числителе дробной части и количество нулей в знаменателе дробной части было одинаковым.
В первую очередь смотрим на количество нулей в знаменателе дробной части. Видим, что там три нуля:
Наша задача организовать в числителе дробной части три цифры. Одна цифра у нас уже есть — это число 2. Осталось добавить ещё две цифры. Ими будут два нуля. Добавим их перед число 2. В результате количество нулей в знаменателе и количество цифр в числителе станет одинаковым:
Теперь можно заняться переводом этого смешанного числа в десятичную дробь. Записываем сначала целую часть и ставим запятую:
и сразу записываем числитель дробной части
3,002
Видим, что количество цифр после запятой и количество нулей в знаменателе дробной части смешанного числа одинаково.
Десятичная дробь 3,002 читается так:
«Три целых, две тысячных»
«Тысячных» потому что в знаменателе дробной части смешанного числа находится число 1000.
Перевод обыкновенных дробей в десятичные дроби
Обыкновенные дроби, у которых в знаменателе числа 10, 100, 1000 или 10000, тоже можно перевести в десятичные дроби. Поскольку у обыкновенной дроби целая часть отсутствует, сначала записывают 0, затем ставят запятую и записывают числитель дробной части.
Здесь также количество нулей в знаменателе и количество цифр в числителе должно быть одинаковым. Поэтому следует быть внимательным.
Пример 1.
Целая часть отсутствует, значит сначала записываем 0 и ставим запятую:
Теперь смотрим на количество нулей в знаменателе. Видим, что там один ноль. И в числителе одна цифра. Значит можно спокойно продолжить десятичную дробь, записав после запятой число 5
В полученной десятичной дроби 0,5 количество цифр после запятой и количество нулей в знаменателе дроби одинаково. Значит дробь переведена правильно.
Десятичная дробь 0,5 читается так:
«Ноль целых, пять десятых»
Пример 2. Перевести обыкновенную дробь в десятичную дробь.
Целая часть отсутствует. Записываем сначала 0 и ставим запятую:
Теперь смотрим на количество нулей в знаменателе. Видим, что там два нуля. А в числителе только одна цифра. Чтобы сделать количество цифр и количество нулей одинаковым, добавим в числителе перед числом 2 один ноль. Тогда дробь примет вид . Теперь количество нулей в знаменателе и количество цифр в числителе одинаково. Значит можно продолжить десятичную дробь:
В полученной десятичной дроби 0,02 количество цифр после запятой и количество нулей в знаменателе дроби одинаково. Значит дробь переведена правильно.
Десятичная дробь 0,02 читается так:
«Ноль целых, две сотых».
Пример 3. Перевести обыкновенную дробь в десятичную дробь.
Записываем 0 и ставим запятую:
Теперь считаем количество нулей в знаменателе дроби . Видим, что там пять нулей, а в числителе только одна цифра. Чтобы сделать количество нулей в знаменателе и количество цифр в числителе одинаковым, нужно в числителе перед числом 5 дописать четыре нуля:
Теперь количество нулей в знаменателе и количество цифр в числителе одинаково. Значит можно продолжить десятичную дробь. Записываем после запятой числитель дроби
В полученной десятичной дроби 0,00005 количество цифр после запятой и количество нулей в знаменателе дроби одинаково. Значит дробь переведена правильно.
Десятичная дробь 0,00005 читается так:
«Ноль целых, пять стотысячных».
Перевод неправильных дробей в десятичную дробь
Неправильная дробь это дробь, у которой числитель больше знаменателя. Встречаются неправильные дроби, у которых в знаменателе находятся числа 10, 100, 1000 или 10000. Такие дроби можно переводить в десятичные дроби. Но перед переводом в десятичную дробь, у таких дробей необходимо выделять целую часть.
Пример 1.
Дробь является неправильной дробью. Чтобы перевести такую дробь в десятичную дробь, нужно в первую очередь выделить у нее целую часть. Вспоминаем, как выделять целую часть у неправильных дробей. Если забыли, советуем вернуться к и изучить его.
Итак, выделим целую часть в неправильной дроби . Напомним, что дробь означает деление — в данном случае деление числа 112 на число 10
Посмотрим на этот рисунок и соберём новое смешанное число, подобно детскому конструктору. Число 11 будет целой частью, число 2 — числителем дробной части, число 10 — знаменателем дробной части.
Мы получили смешанное число . Его и переведём в десятичную дробь. А как переводить такие числа в десятичные дроби мы уже знаем. Сначала записываем целую часть и ставим запятую:
Теперь считаем количество нулей в знаменателе дробной части. Видим, что там один ноль. И в числителе дробной части одна цифра. Значит количество нулей в знаменателе дробной части и количество цифр в числителе дробной части одинаково. Это даёт нам возможность сразу записать числитель дробной части после запятой:
В полученной десятичной дроби 11,2 количество цифр после запятой и количество нулей в знаменателе дроби одинаково. Значит дробь переведена правильно.
Значит неправильная дробь при переводе в десятичную дробь обращается в 11,2
Десятичная дробь 11,2 читается так:
«Одиннадцать целых, две десятых».
Пример 2. Перевести неправильную дробь в десятичную дробь.
Это неправильная дробь, поскольку числитель больше знаменателя. Но её можно перевести в десятичную дробь, поскольку в знаменателе находится число 100.
В первую очередь выделим целую часть этой дроби. Для этого разделим 450 на 100 уголком:
Соберём новое смешанное число — получим . А как переводить смешанные числа в десятичные дроби мы уже знаем.
Записываем целую часть и ставим запятую:
Теперь считаем количество нулей в знаменателе дробной части и количество цифр в числителе дробной части. Видим, что количество нулей в знаменателе и количество цифр в числителе одинаково. Это даёт нам возможность сразу записать числитель дробной части после запятой:
В полученной десятичной дроби 4,50 количество цифр после запятой и количество нулей в знаменателе дроби одинаково. Значит дробь переведена верно.
Значит неправильная дробь при переводе в десятичную дробь обращается в 4,50
При решении задач, если в конце десятичной дроби оказываются нули, их можно отбросить. Давайте и мы отбросим ноль в нашем ответе. Тогда мы получим 4,5
Это одна из интересных особенностей десятичных дробей. Она заключается в том, что нули которые стоят в конце дроби, не придают этой дроби никакого веса. Другими словами, десятичные дроби 4,50 и 4,5 равны. Поставим между ними знак равенства:
4,50 = 4,5
Возникает вопрос: а почему так происходит? Ведь на вид 4,50 и 4,5 разные дроби. Весь секрет кроется в основном свойстве дроби, котором мы изучали ранее. Мы попробуем доказать, почему равны десятичные дроби 4,50 и 4,5, но после изучения следующей темы, которая называется «перевод десятичной дроби в смешанное число».
Перевод десятичной дроби в смешанное число
Любая десятичная дробь может быть обратно переведена в смешанное число. Для этого достаточно уметь читать десятичные дроби. Например, переведём 6,3 в смешанное число. 6,3 это шесть целых и три десятых. Записываем сначала шесть целых:
и рядом три десятых:
Пример 2. Перевести десятичную дробь 3,002 в смешанное число
3,002 это три целых и две тысячных. Записываем сначала три целых
и рядом записываем две тысячных:
Пример 3. Перевести десятичную дробь 4,50 в смешанное число
4,50 это четыре целых и пятьдесят сотых. Записываем четыре целых
и рядом пятьдесят сотых:
Кстати, давайте вспомним последний пример из предыдущей темы. Мы сказали, что десятичные дроби 4,50 и 4,5 равны. Также мы сказали, что ноль можно отбросить. Попробуем доказать, что десятичные 4,50 и 4,5 равны. Для этого переведем обе десятичные дроби в смешанные числа.
После перевода в смешанное число десятичная дробь 4,50 обращается в , а десятичная дробь 4,5 обращается в
Имеем два смешанных числа и . Переведём эти смешанные числа в неправильные дроби:
Теперь имеем две дроби и . Настало время вспомнить основное свойство дроби, которое говорит, что при умножении (или делении) числителя и знаменателя дроби на одно и то же число, значение дроби не изменяется.
Давайте разделим первую дробь на 10
Получили , а это вторая дробь. Значит и равны между собой и равны одному и тому же значению:
Попробуйте на калькуляторе разделить сначала 450 на 100, а затем 45 на 10. Забавная штука получится.
Перевод десятичной дроби в обыкновенную дробь
Любая десятичная дробь может быть обратно переведена в обыкновенную дробь. Для этого опять же достаточно уметь читать десятичные дроби. Например, переведём 0,3 в обыкновенную дробь. 0,3 это ноль целых и три десятых. Записываем сначала ноль целых:
и рядом три десятых 0 . Ноль по традиции не записывают, поэтому окончательный ответ будет не 0, а просто .
Пример 2. Перевести десятичную дробь 0,02 в обыкновенную дробь.
0,02 это ноль целых и две сотых. Ноль по не записываем, поэтому сразу записываем две сотых
Пример 3. Перевести 0,00005 в обыкновенную дробь
0,00005 это ноль целых и пять сто тысячных. Ноль не записываем, поэтому сразу записываем пять сто тысячных
Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках
В этом уроке мы рассмотрим каждую из этих операций по отдельности.
Содержание урокаСложение десятичных дробей
Как мы знаем, десятичная дробь имеет целую и дробную часть. При сложении десятичных дробей, целые и дробные части складываются по отдельности.
Например, сложим десятичные дроби 3,2 и 5,3. Десятичные дроби удобнее складывать в столбик.
Запишем сначала эти две дроби в столбик, при этом целые части обязательно должны быть под целыми, а дробные под дробными. В школе это требование называют «запятая под запятой» .
Запишем дроби в столбик так, чтобы запятая оказалась под запятой:
Начинаем складывать дробные части: 2 + 3= 5. Записываем пятёрку в дробной части нашего ответа:
Теперь складываем целые части: 3 + 5 = 8. Записываем восьмёрку в целой части нашего ответа:
Теперь отделяем запятой целую часть от дробной. Для этого опять же соблюдаем правило «запятая под запятой» :
Получили ответ 8,5. Значит выражения 3,2 + 5,3 равно 8,5
На самом деле, не всё так просто, как кажется на первый взгляд. Здесь тоже имеются свои подводные камни, о которых мы сейчас поговорим.
Разряды в десятичных дробях
У десятичных дробей, как и у обычных чисел, есть свои разряды. Это разряды десятых, разряды сотых, разряды тысячных. При этом разряды начинаются после запятой.
Первая цифра после запятой отвечает за разряд десятых, вторая цифра после запятой за разряд сотых, третья цифра после запятой за разряд тысячных.
Разряды в десятичных дробях хранят в себе некоторую полезную информацию. В частности, они сообщают сколько в десятичной дроби десятых частей, сотых частей и тысячных частей.
Например, рассмотрим десятичную дробь 0,345
Позиция, где находится тройка, называется разрядом десятых
Позиция, где находится четвёрка, называется разрядом сотых
Позиция, где находится пятёрка, называется разрядом тысячных
Посмотрим на данный рисунок. Видим, что в разряде десятых располагается тройка. Это говорит о том, что в десятичной дроби 0,345 содержится три десятых .
Если мы сложим дроби , и то получим изначальную десятичную дробь 0,345
Видно, что сначала мы получили ответ , но перевели его в десятичную дробь и получили 0,345.
При сложении десятичных дробей соблюдаются те же принципы и правила, что и при сложении обычных чисел. Сложение десятичных дробей происходит по разрядам: десятые части складываются с десятыми частями, сотые с сотыми, тысячные с тысячными.
Поэтому при сложении десятичных дробей требуют соблюдать правило «запятая под запятой» . Запятая под запятой обеспечивает тот самый порядок, в котором десятые части складываются с десятыми, сотые с сотыми, тысячные с тысячными.
Пример 1. Найти значение выражения 1,5 + 3,4
В первую очередь складываем дробные части 5 + 4 = 9. Записываем девятку в дробной части нашего ответа:
Теперь складываем целые части 1 + 3 = 4. Записываем четвёрку в целой части нашего ответа:
Теперь отделяем запятой целую часть от дробной. Для этого опять же соблюдаем правило «запятая под запятой»:
Получили ответ 4,9. Значит значение выражения 1,5 + 3,4 равно 4,9
Пример 2. Найти значение выражения: 3,51 + 1,22
Записываем в столбик данное выражение, соблюдая правило «запятая под запятой»
В первую очередь складываем дробную часть, а именно сотые части 1+2=3. Записываем тройку в сотой части нашего ответа:
Теперь складываем десятые части 5+2=7. Записываем семёрку в десятой части нашего ответа:
Теперь складываем целые части 3+1=4. Записываем четвёрку в целой части нашего ответа:
Отделяем запятой целую часть от дробной, соблюдая правило «запятая под запятой»:
Получили ответ 4,73. Значит значение выражения 3,51 + 1,22 равно 4,73
3,51 + 1,22 = 4,73
Как и в обычных числах, при сложении десятичных дробей может произойти . В этом случае в ответе записывается одна цифра, а остальные переносят на следующий разряд.
Пример 3. Найти значение выражения 2,65 + 3,27
Записываем в столбик данное выражение:
Складываем сотые части 5+7=12. Число 12 не поместится в сотой части нашего ответа. Поэтому в сотой части записываем цифру 2, а единицу переносим на следующий разряд:
Теперь складываем десятые части 6+2=8 плюс единица, которая досталась от предыдущей операции, получим 9. Записываем цифру 9 в десятой части нашего ответа:
Теперь складываем целые части 2+3=5. Записываем цифру 5 в целой части нашего ответа:
Получили ответ 5,92. Значит значение выражения 2,65 + 3,27 равно 5,92
2,65 + 3,27 = 5,92
Пример 4. Найти значение выражения 9,5 + 2,8
Записываем в столбик данное выражение
Складываем дробные части 5 + 8 = 13. Число 13 не поместится в дробной часть нашего ответа, поэтому сначала записываем цифру 3, а единицу переносим на следующий разряд, точнее переносим её к целой части:
Теперь складываем целые части 9+2=11 плюс единица, которая досталась от предыдущей операции, получаем 12. Записываем число 12 в целой части нашего ответа:
Отделяем запятой целую часть от дробной:
Получили ответ 12,3. Значит значение выражения 9,5 + 2,8 равно 12,3
9,5 + 2,8 = 12,3
При сложении десятичных дробей количество цифр после запятой в обеих дробях должно быть одинаковым. Если цифр не хватает, то эти места в дробной части заполняются нулями.
Пример 5 . Найти значение выражения: 12,725 + 1,7
Прежде чем записывать в столбик данное выражение, сделаем количество цифр после запятой в обеих дробях одинаковым. В десятичной дроби 12,725 после запятой три цифры, а в дроби 1,7 только одна. Значит в дроби 1,7 в конце нужно добавить два нуля. Тогда получим дробь 1,700. Теперь можно записать в столбик данное выражение и начать вычислять:
Складываем тысячные части 5+0=5. Записываем цифру 5 в тысячной части нашего ответа:
Складываем сотые части 2+0=2. Записываем цифру 2 в сотой части нашего ответа:
Складываем десятые части 7+7=14. Число 14 не поместится в десятой части нашего ответа. Поэтому сначала записываем цифру 4, а единицу переносим на следующий разряд:
Теперь складываем целые части 12+1=13 плюс единица, которая досталась от предыдущей операции, получаем 14. Записываем число 14 в целой части нашего ответа:
Отделяем запятой целую часть от дробной:
Получили ответ 14,425. Значит значение выражения 12,725+1,700 равно 14,425
12,725+ 1,700 = 14,425
Вычитание десятичных дробей
При вычитании десятичных дробей нужно соблюдать те же правила, что и при сложении: «запятая под запятой» и «равное количества цифр после запятой».
Пример 1. Найти значение выражения 2,5 − 2,2
Записываем в столбик данное выражение, соблюдая правило «запятая под запятой»:
Вычисляем дробную часть 5−2=3. Записываем цифру 3 в десятой части нашего ответа:
Вычисляем целую часть 2−2=0. Записываем ноль в целой части нашего ответа:
Отделяем запятой целую часть от дробной:
Получили ответ 0,3. Значит значение выражения 2,5 − 2,2 равно 0,3
2,5 − 2,2 = 0,3
Пример 2. Найти значение выражения 7,353 — 3,1
В этом выражении разное количество цифр после запятой. В дроби 7,353 после запятой три цифры, а в дроби 3,1 только одна. Значит в дроби 3,1 в конце нужно добавить два нуля, чтобы сделать количество цифр в обеих дробях одинаковым. Тогда получим 3,100.
Теперь можно записать в столбик данное выражение и вычислить его:
Получили ответ 4,253. Значит значение выражения 7,353 − 3,1 равно 4,253
7,353 — 3,1 = 4,253
Как и в обычных числах, иногда придётся занимать единицу у соседнего разряда, если вычитание станет невозможным.
Пример 3. Найти значение выражения 3,46 − 2,39
Вычитаем сотые части 6−9. От число 6 не вычесть число 9. Поэтому нужно занять единицу у соседнего разряда. Заняв единицу у соседнего разряда число 6 обращается в число 16. Теперь можно вычислить сотые части 16−9=7. Записываем семёрку в сотой части нашего ответа:
Теперь вычитаем десятые части. Поскольку мы заняли в разряде десятых одну единицу, то цифра, которая там располагалась, уменьшилась на одну единицу. Другими словами, в разряде десятых теперь не цифра 4, а цифра 3. Вычислим десятые части 3−3=0. Записываем ноль в десятой части нашего ответа:
Теперь вычитаем целые части 3−2=1. Записываем единицу в целой части нашего ответа:
Отделяем запятой целую часть от дробной:
Получили ответ 1,07. Значит значение выражения 3,46−2,39 равно 1,07
3,46−2,39=1,07
Пример 4 . Найти значение выражения 3−1,2
В этом примере из целого числа вычитается десятичная дробь. Запишем данное выражение столбиком так, чтобы целая часть десятичной дроби 1,23 оказалась под числом 3
Теперь сделаем количество цифр после запятой одинаковым. Для этого после числа 3 поставим запятую и допишем один ноль:
Теперь вычитаем десятые части: 0−2. От нуля не вычесть число 2. Поэтому нужно занять единицу у соседнего разряда. Заняв единицу у соседнего разряда, 0 обращается в число 10. Теперь можно вычислить десятые части 10−2=8. Записываем восьмёрку в десятой части нашего ответа:
Теперь вычитаем целые части. Раньше в целой располагалось число 3, но мы заняли у него одну единицу. В результате оно обратилось в число 2. Поэтому из 2 вычитаем 1. 2−1=1. Записываем единицу в целой части нашего ответа:
Отделяем запятой целую часть от дробной:
Получили ответ 1,8. Значит значение выражения 3−1,2 равно 1,8
Умножение десятичных дробей
Умножение десятичных дробей это просто и даже увлекательно. Чтобы перемножить десятичные дроби, нужно перемножить их как обычные числа, не обращая внимания на запятые.
Получив ответ, необходимо отделить запятой целую часть от дробной. Чтобы сделать это, надо посчитать количество цифр после запятой в обеих дробях, затем в ответе отсчитать справа столько же цифр и поставить запятую.
Пример 1. Найти значение выражения 2,5 × 1,5
Перемножим эти десятичные дроби как обычные числа, не обращая внимания на запятые. Чтобы не обращать внимания на запятые, можно на время представить, что они вообще отсутствуют:
Получили 375. В этом числе необходимо отделить запятой целую часть от дробной. Для этого нужно посчитать количество цифр после запятой в дробях 2,5 и 1,5. В первой дроби после запятой одна цифра, во второй дроби тоже одна. Итого две цифры.
Возвращаемся к числу 375 и начинаем двигаться справа налево. Нам нужно отсчитать две цифры справа и поставить запятую:
Получили ответ 3,75. Значит значение выражения 2,5 × 1,5 равно 3,75
2,5 × 1,5 = 3,75
Пример 2. Найти значение выражения 12,85 × 2,7
Перемножим эти десятичные дроби, не обращая внимания на запятые:
Получили 34695. В этом числе нужно отделить запятой целую часть от дробной. Для этого необходимо посчитать количество цифр после запятой в дробях 12,85 и 2,7. В дроби 12,85 после запятой две цифры, в дроби 2,7 одна цифра — итого три цифры.
Возвращаемся к числу 34695 и начинаем двигаться справа налево. Нам нужно отсчитать три цифры справа и поставить запятую:
Получили ответ 34,695. Значит значение выражения 12,85 × 2,7 равно 34,695
12,85 × 2,7 = 34,695
Умножение десятичной дроби на обычное число
Иногда возникают ситуации, когда требуется умножить десятичную дробь на обычное число.
Чтобы перемножить десятичную дробь и обычное число, нужно перемножить их, не обращая внимания на запятую в десятичной дроби. Получив ответ, необходимо отделить запятой целую часть от дробной. Для этого нужно посчитать количество цифр после запятой в десятичной дроби, затем в ответе отсчитать справа столько же цифр и поставить запятую.
Например, умножим 2,54 на 2
Умножаем десятичную дробь 2,54 на обычное число 2, не обращая внимания на запятую:
Получили число 508. В этом числе нужно отделить запятой целую часть от дробной. Для этого необходимо посчитать количество цифр после запятой в дроби 2,54. В дроби 2,54 после запятой две цифры.
Возвращаемся к числу 508 и начинаем двигаться справа налево. Нам нужно отсчитать две цифры справа и поставить запятую:
Получили ответ 5,08. Значит значение выражения 2,54 × 2 равно 5,08
2,54 × 2 = 5,08
Умножение десятичных дробей на 10, 100, 1000
Умножение десятичных дробей на 10, 100 или 1000 выполняется таким же образом, как и умножение десятичных дробей на обычные числа. Нужно выполнить умножение, не обращая внимания на запятую в десятичной дроби, затем в ответе отделить целую часть от дробной, отсчитав справа столько же цифр, сколько было цифр после запятой в десятичной дроби.
Например, умножим 2,88 на 10
Умножим десятичную дробь 2,88 на 10, не обращая внимания на запятую в десятичной дроби:
Получили 2880. В этом числе нужно отделить запятой целую часть от дробной. Для этого необходимо посчитать количество цифр после запятой в дроби 2,88. Видим, что в дроби 2,88 после запятой две цифры.
Возвращаемся к числу 2880 и начинаем двигаться справа налево. Нам нужно отсчитать две цифры справа и поставить запятую:
Получили ответ 28,80. Отбросим последний ноль — получим 28,8. Значит значение выражения 2,88×10 равно 28,8
2,88 × 10 = 28,8
Есть и второй способ умножения десятичных дробей на 10, 100, 1000. Этот способ намного проще и удобнее. Он заключается в том, что запятая в десятичной дроби передвигается вправо на столько цифр, сколько нулей во множителе.
Например, решим предыдущий пример 2,88×10 этим способом. Не приводя никаких вычислений, сразу же смотрим на множитель 10. Нас интересует сколько в нём нулей. Видим, что в нём один ноль. Теперь в дроби 2,88 передвигаем запятую вправо на одну цифру, получим 28,8.
2,88 × 10 = 28,8
Попробуем умножить 2,88 на 100. Сразу же смотрим на множитель 100. Нас интересует сколько в нём нулей. Видим, что в нём два нуля. Теперь в дроби 2,88 передвигаем запятую вправо на две цифры, получаем 288
2,88 × 100 = 288
Попробуем умножить 2,88 на 1000. Сразу же смотрим на множитель 1000. Нас интересует сколько в нём нулей. Видим, что в нём три нуля. Теперь в дроби 2,88 передвигаем запятую вправо на три цифры. Третьей цифры там нет, поэтому мы дописываем ещё один ноль. В итоге получаем 2880.
2,88 × 1000 = 2880
Умножение десятичных дробей на 0,1 0,01 и 0,001
Умножение десятичных дробей на 0,1, 0,01 и 0,001 происходит таким же образом, как и умножение десятичной дроби на десятичную дробь. Необходимо перемножить дроби, как обычные числа, и в ответе поставить запятую, отсчитав столько цифр справа, сколько цифр после запятой в обеих дробях.
Например, умножим 3,25 на 0,1
Умножаем эти дроби, как обычные числа, не обращая внимания на запятые:
Получили 325. В этом числе нужно отделить запятой целую часть от дробной. Для этого необходимо посчитать количество цифр после запятой в дробях 3,25 и 0,1. В дроби 3,25 после запятой две цифры, в дроби 0,1 одна цифра. Итого три цифры.
Возвращаемся к числу 325 и начинаем двигаться справа налево. Нам нужно отсчитать три цифры справа и поставить запятую. Отсчитав три цифры мы обнаруживаем, что цифры закончились. В этом случае нужно дописать один ноль и поставить запятую:
Получили ответ 0,325. Значит значение выражения 3,25 × 0,1 равно 0,325
3,25 × 0,1 = 0,325
Есть и второй способ умножения десятичных дробей на 0,1, 0,01 и 0,001. Этот способ намного проще и удобнее. Он заключается в том, что запятая в десятичной дроби передвигается влево на столько цифр, сколько нулей во множителе.
Например, решим предыдущий пример 3,25 × 0,1 этим способом. Не приводя никаких вычислений сразу же смотрим на множитель 0,1. Нас интересует сколько в нём нулей. Видим, что в нём один ноль. Теперь в дроби 3,25 передвигаем запятую влево на одну цифру. Передвинув запятую на одну цифру влево мы видим, что перед тройкой больше нет никаких цифр. В этом случае дописываем один ноль и ставим запятую. В результате получаем 0,325
3,25 × 0,1 = 0,325
Попробуем умножить 3,25 на 0,01. Сразу же смотрим на множитель 0,01. Нас интересует сколько в нём нулей. Видим, что в нём два нуля. Теперь в дроби 3,25 передвигаем запятую влево на две цифры, получаем 0,0325
3,25 × 0,01 = 0,0325
Попробуем умножить 3,25 на 0,001. Сразу же смотрим на множитель 0,001. Нас интересует сколько в нём нулей. Видим, что в нём три нуля. Теперь в дроби 3,25 передвигаем запятую влево на три цифры, получаем 0,00325
3,25 × 0,001 = 0,00325
Нельзя путать умножение десятичных дробей на 0,1, 0,001 и 0,001 с умножением на 10, 100, 1000. Типичная ошибка большинства людей.
При умножении на 10, 100, 1000 запятая переносится вправо на столько же цифр сколько нулей во множителе.
А при умножении на 0,1, 0,01 и 0,001 запятая переносится влево на столько же цифр сколько нулей во множителе.
Если на первых порах это сложно запомнить, можно пользоваться первым способом, в котором умножение выполняется как с обычными числами. В ответе нужно будет отделить целую часть от дробной, отсчитав справа столько же цифр, сколько цифр после запятой в обеих дробях.
Деление меньшего числа на большее. Продвинутый уровень.
В одном из предыдущих уроков мы сказали, что при делении меньшего числа на большее получается дробь, в числителе которой делимое, а в знаменателе – делитель.
Например, чтобы разделить одно яблоко на двоих, нужно в числитель записать 1 (одно яблоко), а в знаменатель записать 2 (двое друзей). В результате получим дробь . Значит каждому другу достанется по яблока. Другими словами, по половине яблока. Дробь это ответ к задаче «как разделить одно яблоко на двоих»
Оказывается, можно решать эту задачу и дальше, если разделить 1 на 2. Ведь дробная черта в любой дроби означает деление, а значит и в дроби это деление разрешено. Но как? Мы ведь привыкли к тому, что делимое всегда больше делителя. А здесь наоборот, делимое меньше делителя.
Всё станет ясным, если вспомнить, что дробь означает дробление, деление, разделение. А значит и единица может быть раздроблена на сколько угодно частей, а не только на две части.
При разделении меньшего числа на большее получается десятичная дробь, в которой целая часть будет 0 (нулевой). Дробная часть же может быть любой.
Итак, разделим 1 на 2. Решим этот пример уголком:
Единицу на два просто так нацело не разделить. Если задать вопрос «сколько двоек в единице» , то ответом будет 0. Поэтому в частном записываем 0 и ставим запятую:
Теперь как обычно умножаем частное на делитель, чтобы вытащить остаток:
Настал момент, когда единицу можно дробить на две части. Для этого справа от полученной единички дописываем ещё один ноль:
Получили 10. Делим 10 на 2, получаем 5. Записываем пятёрку в дробной части нашего ответа:
Теперь вытаскиваем последний остаток, чтобы завершить вычисление. Умножаем 5 на 2, получаем 10
Получили ответ 0,5. Значит дробь равна 0,5
Половину яблока можно записать и с помощью десятичной дроби 0,5. Если сложить эти две половинки (0,5 и 0,5), мы опять получим изначальное одно целое яблоко:
Этот момент также можно понять, если представить, как 1 см делится на две части. Если 1 сантиметр разделить на 2 части, то получится 0,5 см
Пример 2. Найти значение выражения 4: 5
Сколько пятёрок в четвёрке? Нисколько. Записываем в частном 0 и ставим запятую:
Умножаем 0 на 5, получаем 0. Записываем ноль под четвёркой. Сразу же вычитаем этот ноль из делимого:
Теперь начнём дробить (делить) четвёрку на 5 частей. Для этого справа от 4 дописываем ноль и делим 40 на 5, получаем 8. Записываем восьмёрку в частном.
Завершаем пример, умножив 8 на 5, и получив 40:
Получили ответ 0,8. Значит значение выражения 4: 5 равно 0,8
Пример 3. Найти значение выражения 5: 125
Сколько чисел 125 в пятёрке? Нисколько. Записываем 0 в частном и ставим запятую:
Умножаем 0 на 5, получаем 0. Записываем 0 под пятёркой. Сразу же вычитаем из пятёрки 0
Теперь начнём дробить (делить) пятёрку на 125 частей. Для этого справа от этой пятёрки запишем ноль:
Делим 50 на 125. Сколько чисел 125 в числе 50? Нисколько. Значит в частном опять записываем 0
Умножаем 0 на 125, получаем 0. Записываем этот ноль под 50. Сразу же вычитаем 0 из 50
Теперь делим число 50 на 125 частей. Для этого справа от 50 запишем ещё один ноль:
Делим 500 на 125. Сколько чисел 125 в числе 500. В числе 500 четыре числа 125. Записываем четвёрку в частном:
Завершаем пример, умножив 4 на 125, и получив 500
Получили ответ 0,04. Значит значение выражения 5: 125 равно 0,04
Деление чисел без остатка
Итак, поставим в частном после единицы запятую, тем самым указывая, что деление целых частей закончилось и мы приступаем к дробной части:
Допишем ноль к остатку 4
Теперь делим 40 на 5, получаем 8. Записываем восьмёрку в частном:
40−40=0. Получили 0 в остатке. Значит деление на этом полностью завершено. При делении 9 на 5 получается десятичная дробь 1,8:
9: 5 = 1,8
Пример 2 . Разделить 84 на 5 без остатка
Сначала разделим 84 на 5 как обычно с остатком:
Получили в частном 16 и еще 4 в остатке. Теперь разделим этот остаток на 5. Поставим в частном запятую, а к остатку 4 допишем 0
Теперь делим 40 на 5, получаем 8. Записываем восьмерку в частном после запятой:
и завершаем пример, проверив есть ли еще остаток:
Деление десятичной дроби на обычное число
Десятичная дробь, как мы знаем состоит из целой и дробной части. При делении десятичной дроби на обычное число в первую очередь нужно:
- разделить целую часть десятичной дроби на это число;
- после того, как целая часть будет разделена, нужно в частном сразу же поставить запятую и продолжить вычисление, как в обычном делении.
Например, разделим 4,8 на 2
Запишем этот пример уголком:
Теперь разделим целую часть на 2. Четыре разделить на два будет два. Записываем двойку в частном и сразу же ставим запятую:
Теперь умножаем частное на делитель и смотрим есть ли остаток от деления:
4−4=0. Остаток равен нулю. Ноль пока не записываем, поскольку решение не завершено. Далее продолжаем вычислять, как в обычном делении. Сносим 8 и делим её на 2
8: 2 = 4. Записываем четвёрку в частном и сразу умножаем её на делитель:
Получили ответ 2,4. Значение выражения 4,8: 2 равно 2,4
Пример 2. Найти значение выражения 8,43: 3
Делим 8 на 3, получаем 2. Сразу же ставим запятую после двойки:
Теперь умножаем частное на делитель 2 × 3 = 6. Записываем шестёрку под восьмёркой и находим остаток:
Делим 24 на 3, получаем 8. Записываем восьмёрку в частном. Сразу же умножаем её на делитель, чтобы найти остаток от деления:
24−24=0. Остаток равен нулю. Ноль пока не записываем. Сносим последнюю тройку из делимого и делим на 3, получим 1. Сразу же умножаем 1 на 3, чтобы завершить этот пример:
Получили ответ 2,81. Значит значение выражения 8,43: 3 равно 2,81
Деление десятичной дроби на десятичную дробь
Чтобы разделить десятичную дробь на десятичную дробь, надо в делимом и в делителе перенести запятую вправо на столько же цифр, сколько их после запятой в делителе, и затем выполнить деление на обычное число.
Например, разделим 5,95 на 1,7
Запишем уголком данное выражение
Теперь в делимом и в делителе перенесём запятую вправо на столько же цифр, сколько их после запятой в делителе. В делителе после запятой одна цифра. Значит мы должны в делимом и в делителе перенести запятую вправо на одну цифру. Переносим:
После перенесения запятой вправо на одну цифру десятичная дробь 5,95 обратилась в дробь 59,5. А десятичная дробь 1,7 после перенесения запятой вправо на одну цифру обратилась в обычное число 17. А как делить десятичную дробь на обычное число мы уже знаем. Дальнейшее вычисление не составляет особого труда:
Запятая переносится вправо с целью облегчить деление. Это допускается по причине того, что при умножении или делении делимого и делителя на одно и то же число, частное не меняется. Что это значит?
Это одна из интересных особенностей деления. Его называют свойством частного. Рассмотрим выражение 9: 3 = 3. Если в этом выражении делимое и делитель умножить или разделить на одно и то же число, то частное 3 не изменится.
Давайте умножим делимое и делитель на 2, и посмотрим, что из этого получится:
(9 × 2 ) : (3 × 2 ) = 18: 6 = 3
Как видно из примера, частное не поменялось.
Тоже самое происходит, когда мы переносим запятую в делимом и в делителе. В предыдущем примере, где мы делили 5,91 на 1,7 мы перенесли в делимом и делителе запятую на одну цифру вправо. После переноса запятой, дробь 5,91 преобразовалась в дробь 59,1 а дробь 1,7 преобразовалась в обычное число 17.
На самом деле внутри этого процесса происходило умножение на 10. Вот как это выглядело:
5,91 × 10 = 59,1
Поэтому от количества цифр после запятой в делителе зависит то, на что будет умножено делимое и делитель. Другими словами, от количества цифр после запятой в делителе будет зависеть то, на сколько цифр в делимом и в делителе запятая будет перенесена вправо.
Деление десятичной дроби на 10, 100, 1000
Деление десятичной дроби на 10, 100, или 1000 осуществляется таким же образом, как и . Например, разделим 2,1 на 10. Решим этот пример уголком:
Но есть и второй способ. Он более лёгкий. Суть этого способа в том, что запятая в делимом переносится влево на столько цифр, сколько нулей в делителе.
Решим предыдущий пример этим способом. 2,1: 10. Смотрим на делитель. Нас интересует сколько в нём нулей. Видим, что там один ноль. Значит в делимом 2,1 нужно перенести запятую влево на одну цифру. Переносим запятую влево на одну цифру и видим, что там больше не осталось цифр. В этом случае перед цифрой дописываем ещё один ноль. В итоге получаем 0,21
Попробуем разделить 2,1 на 100. В числе 100 два нуля. Значит в делимом 2,1 надо перенести запятую влево на две цифры:
2,1: 100 = 0,021
Попробуем разделить 2,1 на 1000. В числе 1000 три нуля. Значит в делимом 2,1 надо перенести запятую влево на три цифры:
2,1: 1000 = 0,0021
Деление десятичной дроби на 0,1, 0,01 и 0,001
Деление десятичной дроби на 0,1, 0,01, и 0,001 осуществляется таким же образом, как и . В делимом и в делителе надо перенести запятую вправо на столько цифр, сколько их после запятой в делителе.
Например, разделим 6,3 на 0,1. В первую очередь перенесём запятые в делимом и в делителе вправо на столько же цифр, сколько их после запятой в делителе. В делителе после запятой одна цифра. Значит переносим запятые в делимом и в делителе вправо на одну цифру.
После перенесения запятой вправо на одну цифру, десятичная дробь 6,3 превращается в обычное число 63, а десятичная дробь 0,1 после перенесения запятой вправо на одну цифру превращается в единицу. А разделить 63 на 1 очень просто:
Значит значение выражения 6,3: 0,1 равно 63
Но есть и второй способ. Он более лёгкий. Суть этого способа в том, что запятая в делимом переносится вправо на столько цифр, сколько нулей в делителе.
Решим предыдущий пример этим способом. 6,3: 0,1. Смотрим на делитель. Нас интересует сколько в нём нулей. Видим, что там один ноль. Значит в делимом 6,3 нужно перенести запятую вправо на одну цифру. Переносим запятую вправо на одну цифру и получаем 63
Попробуем разделить 6,3 на 0,01. В делителе 0,01 два нуля. Значит в делимом 6,3 надо перенести запятую вправо на две цифры. Но в делимом после запятой только одна цифра. В этом случае в конце нужно дописать ещё один ноль. В результате получим 630
Попробуем разделить 6,3 на 0,001. В делителе 0,001 три нуля. Значит в делимом 6,3 надо перенести запятую вправо на три цифры:
6,3: 0,001 = 6300
Задания для самостоятельного решения
Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках
